一道圆锥曲线试题的探究与推广

本文首先给出一道圆锥曲线试题的两种解法,然后经过深入探究,将该试题推广到一般情况.     

三角形中与角有关的几个等式

三角形中有很多与角相关的等式,例如正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,余弦定理a²=b²+c²-2bccosA.由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,三角形的三条边可化成三个角的正弦.于是研究三角形三个角的三角函数之间的等式关系就显得非常必要.本文通过探究得到了三角形中与角有关的几个等式.     

一道征解问题的探究

题目在ΔABC中,求证:1/sin A(1+sin A)+1/sin B(1+sin B)+1/sinC(1+sin C)≥83-12.(《数学通讯》“问题征解”栏目问题495).该题是ΔABC中与角有关的不等式,在证明该问题之前,本文经过探究,得到了ΔABC中与角有关的几个结论.     

主元法在不等式中的应用

主元法是指在一个多元数学问题中，以其中一个变量为主元，将问题转化为该主元的函数、方程或不等式等来解决问题.主元若选择得当，解题思路会变得清晰，问题将迎刃而解.     

2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题的探究与推广

2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题出人意料地考查纯粹的基本不等式,要求学生能灵活使用二元以及三元均值不等式.本文经过深入探究,首先给出第23题的多种证明方法,然后将该题的结论推广到一般形式.试题(2019·全国卷Ⅰ·理23)已知a、b、c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1 a+1 b+1 c≤a 2+b 2+c 2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.首先给出第(1)问的两种证明方法.     

一道开放性试题的探究与推广

数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成.正确的命题揭示了“条件”与“结论”之间的必然联系.如果我们把命题中“条件”和“结论”互换身份,就有可能得到一个有意义的逆向命题;把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化(比如取消某些条件过强的限制),从而得到更普遍的结论,叫做数学命题的推广.这两种方式都是发现数学新知识的重要途径.     

由数列的递推公式求通项公式

数列的递推公式类型多样，有累加型递推、累乘型递推、线性递推、分式递推、二阶线性递推等.由数列的递推公式求通项公式是数列学习中的重点和难点，本文利用累加法、累乘法和待定系数法等，构造等差或等比数列，解决了这些数列由递推公式求通项公式的问题.