对一道征解题的解答

《中学数学教学》2020年第1期上,“有奖解题擂台(127)”刊有以下问题在锐角△ABC中,求证:1cosA+1cosB+1cosC≥1sinA2sinB2sinC2-2.证法1(扬学枝提供)设△ABC边长为BC=a,CA=b,AB=c,由对称性,不妨设a≥b≥c,则原式等价于∑2bc-a2+b2+c2≥8abc∏(-a+b+c)-2∑(2bc-a2+b2+c2+1)≥8abc∏(-a+b+c)+1∑(a+b+c)(-a+b+c)-a2+b2+c2≥-∑a3+∑a(b+c)2∏(-a+b+c)∑(a+b+c)(-a+b+c)-a2+b2+c2≥∑a(a+b+c)(-a+b+c)∏(-a+b+c)∑-a+b+c-a2+b2+c2≥∑a(a-b+c)(a+b-c),由于∑a(a-b+c)(a+b-c)=12∑(1a-b+c+1a+b-c)=∑1-a+b+c.