关于矩形的两个定理及其应用举例

在数学竞赛中多次出现“已知平面内一点到矩形三个顶点之距求它到第四顶点之距”的问题。如: 矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5,求PD的长(1982年上海市初中数学竞赛试题)。我们提出如下命题矩形内任一点到两双相对顶点的距离的平方和相等。证明1:如图1,设P为矩形ABCD内任一点,过P作EF⊥AD,则EF⊥BC。于是,由勾股定理,得 PA~2+PC~2=(PE~2+AE~2)+(PF~2+CF~2) =(PE~2+BF~2)+(PF~2+DE~2) =(PE~2+DE~2)+(PF~2+BF~2) 证明2:连AC、BD设交于O,连PO,在△PAC中。由中线公式(或平行四边形的性质)有2(PA~2+PC~2)=AC~2+4PO~2或PA~2+PC~2=1/2AC~2+2PO~2。