在代数中寻找几何对称美——2005年广东省高考数学试题赏析

“对称”一词在数学上经常会在平面或空间图形中出现,在生活中它是美的象征.通常均衡与对称是表达和谐的直观的数学的反映.早在毕达哥拉斯研究勾股定理时就已经开始.那时人们认为平面上的圆与空间中的球面是最完美的几何图形,因为它们是旋转对称的.而在代数中的函数里,由于我们研究函数的周期性、奇偶性而产生了函数图像的对称性也使我们在研究代数中体验到几何图形的对称的美.同时,利用对称解决有关的代数问题往往会事半功倍,形象直观.这样的解法给人们一种美的冲击,令人陶醉.2005年广东高考数学试题第19题是一道有关抽象函数的问题,我将代…     

圆锥曲线对称轴为角平分线性质探究

在解决一些与角度、长度、对称等有关的圆锥曲线问题时，借助几何性质数形转换，实现解析几何问题的直观化，可以迅速获得解题途径.本文对圆锥曲线中的经典题目进行推广，探究了圆锥曲线对称轴为角平分线的四个性质，提供了“几何问题”与“代数问题”相互转化的策略.     

对称,伟大而美丽(一)

科学巨匠爱因斯坦曾说:“物理学的明星,数学的美丽,都通向伟大的对称.”诺贝尔奖得主李政道也说过:“艺术与科学,都是对称与不对称的巧妙组合.”看来,“对称”概念很值得重视.本文谈代数方面的对称,另文(二)谈几何对称.     

一类filiform左对称代数的triple导子

利用triple导子的定义，对一类filiform左对称代数进行了讨论，通过分析该类代数的结构特点，计算了线性变换在一组“强充分”基上的作用结果，得到了这类filiform左对称代数的triple导子的矩阵形式.     

韦达定理与解析几何中的线段问题

代数中的“韦达定理”在解析几何中有很多应用.本文介绍它在与圆锥曲线有关的线段问题中的应用.     

有趣的对称等式

提起“对称”，同学们很自然地想到几何中的轴对称图形，可你们曾想过在代数运算中也存在着“对称的美”．请看下面一组有趣的对称等式：     

用代数方法解几何题

“转化”是解决数学问题的重要方法之一,在一些涉及到几何量之间关系的几何问题中,往往利用代数的有关知识导出几何量间的运算的关系,把几何问题转化为代数问题来解,请看下面的例子.     

2024年高考“解析几何”复习备考探讨

2024年的高考备考要总结解析几何专题命题趋势,结合《中国高考评价体系》中“怎么考”的要求,深度分析解析几何专题的复习障碍,通过试题预测与考点分类帮助学生在设点设线的处理问题上、直线与圆锥曲线中的定点定值问题上、对称与非对称问题上进行重难点突破,提升学生的图形探究能力、数学运算能力和代数推理能力.     

辅助线三法

在平面几何有关问题的证明中,常常需要添作适当的辅助线.常见的作辅助线的方法有:“对称法”、“平移法”和“中线加倍法”.举例说     

巧用对称 简化解题

对称是一种美,在数学里运用非常广泛.在初等数学里,我们常常会遇到一些对称问题,如几何里的中心对称、轴对称、代数里对称多项式,韦达定理等.有些数学问题用对称的观点去观察,通过形象补形,生成对称,容易找到简捷的解题途径.灵     

平面向量解题例谈

爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来,并加以研究解决.在引入向量的知识后,因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”,它可作为联系代数与几何的纽带,是中学数学知识的一个交汇点,以前学过的代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识均能较充分的应用.利用向量知识解题具有很多优越性:思路直观,运算简单,能把“数”和“形”有机地结合起来.通过平面向量知识的学习,将使学生对量的数学认识进入一个新的领域,同时学生对平面几何的定理及有关性质的推导和证明,对解析几…     

应用二项式定理的三个策略

二项式定理在处理有关整除、求余、近似计算、代数等式或不等式的证明以及比较大小等方面的问题时有着广泛的应用,可将其在这些方面的应用策略归纳为“拆”、“展”、“弃”.     

小议初中代数中出现的对称问题

对称是一个重要的数学概念,它分为几何对称和代数对称两大类对称,照字面来讲,就是两个东西相对又相称,因此把这两个东西对换一下,好像没有动过一样,自然界中,雪花和蜂巢就是平面中的对称的例子;人的身体也是左右对称的:我国敦煌壁画的边饰、项光和藻井,都有极丰富而壮美的对称,教材中多次出现对称的问题,可见对称问题是数学教学中的一个重要课题.笔者就近年来在初中代数教学中的体会浅谈如下:     

对称及其在数学解题中的一些应用

对称,在现代汉语词典中解释为:指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系.数学中的对称主要有几何对称和代数对称.几何对称是一种位置对称,从变换的角度而言,平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式.代数对称通常有二元对称和多元轮换对称.共轭、对偶、配对也可看作是一种广义的对称.对     

发散的平面向量

平面向量在新教材中独立成章,其重要性逐渐加强,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,由于向量有几何形式和代数形式的“双重性”,使得它成为中学数学知识网络的一个交汇点.下面介绍几类与向量有关的问题.     

一个基本图形的代数解题功能

“数”与“形”是数学中的两大基石,支撑着数学的演变和发展.以“形”助“数”,直观、巧妙,用“数”攻“形”,简捷、明了,因此“数形结合”思想在解决数学问题的过程中被得到了极为广泛的应用.然而总结一些基本图形的代数解题功能或归纳一些典型代数问题在几何中的应用,还不多见.笔者尝试运用一个基本图形,探索它在代数方面的解题功能,期能为引玉之砖.笔者运用的这个基本图形与相交弦定理的推论相对应,如图1,AB是半⊙O的直径,C为半⊙O上的点,CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD.图1这个基本图形及其结论在解证有关几何题时的作用是众所周知的,如…     

中考二次根式的新视角

二次根式的性质与运算是近年来中考试题中的热点,以贴近学生生活的背景为题材,以培养学生的探究能力为重点,体现“突出能力,强调应用,着重创新”的新课标理念,给命题注入了生机和活力.下面采撷近几年中考二次根式的经典试题加以剖析,供大家参考.视角一:代数式子的对称型数学家族里,许多问题具有和谐的对称美,不仅有几何中的对称,也有代数中的对称.代数式子的对称是指原题中各个字母互相替代,表示式不变,然后这些字母一起参与运算.这就要求我们利用“对称性地处理具有对称性的问题”的数学解题原则来正确求解.例1(2005年江苏)已知a1-b2 b1-a2…     

利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现,常见的有中心和轴对称两种.尽管试题年年翻新,情境不断变化,甚至不落俗套,但经研究可以发现,其解法的普遍规律还是可以归纳总结的.笔者认为,图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称,因此,抓住对称点之间的数量关系及其内在联系,可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言.代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法,亦简称相关点法.下面通过一些实例加以说明.一、函数中的对称问题例1(2001年高考)设y=f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称.证明y=f(x)是周期函数.证明:设(x,y)为y=f(x)图象上任…     

用平面向量解决三角形四心问题

向量本身是一个几何概念,具有代数形式和几何形式两种表示方法,易于数形结合,而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点,因此可称为高中数学的一个交汇点.三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特殊的性质.在高考中,往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查.这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义.下面举例说明.     

HPM视角下的一元二次方程概念教学设计

一元二次方程这个课题蕴涵着丰富的历史文化信息,古代埃及、美索不达米亚、中国、印度、希腊和阿拉伯的数学文献中都有一元二次方程问题.然而,由于对有关历史知识缺乏足够的了解,人们在课堂中很少利用这些历史上的问题.全日制义务教育《数学课程标准》(下称《标准》)在“教材编写建议”中指出:“教材内容的编排和呈现要突出知识的形成和应用过程:应引导学生从已有的知识和经验出发,进行自主探索与合作交流……应关注对学生人文精神的培养.”“在数与代数部分,可以穿插介绍代数及代数语言的历史,……也可以介绍