三维格点图的基本计数问题

设有长、宽、高分别为整数k、l、m的长方体,用三组等距且平行于面的平面,分别将长、宽、高分为k、l、m等分,就构成三维空间的k×l×m格点图(图一)。应用组合方法,考虑空间格点图中一些基本计数问题,能得到一系列有趣的组合公式。本文就来考虑这些问题,并作出一些猜想。一、格点数和线段数每条横线上有(l+1)个点,而这样的横线共有(k+1)(m+1)条,因此格点数 D(k,l,m)=(k+1)(l+1)(m+1) ①如以x_k、x_l、x_m分别表示纵、横和竖线段条数,那么线段总条数 X(k,l,m)=x_k+x_l+x_m,     

再探矩形格中的最短路径与杨辉三角

文[1]提供了一道小学数学题:如图1,田字格中由4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径共有几条? 文[1]通过研究得到的结论是:对于m×n阶矩形格(m、n分别为竖线和横线数,且m、n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中直线M和N交叉处的数字(如图2),此数字可用组合数C(m+n-2)(m-1)表     

趣题三则

如右图,矩形的长与宽数值是两个相邻的两位数.小三角形(图中阴影部分)的顶点是矩形对角线的中点,底边两端点是矩形长边上的两个四等分点.如果将矩形面积与小三角形面积都进行质因数分解,各自质因数相加,所得两个质因数的和大的是小的两倍. 你能说出矩形的长与宽各是多少吗?     

由一种作图方法引申结论

文（1）中用一个一条对角线等于边长的菱形作图,把它一般化就可以得到命题平行四边形一个角两边上距所对对角线两端点的第一个n等分点以及这两点之间的线段n-1等分点,与该角对角顶点的连线,恰使这条对角线n＋1等分.已知：如图ABCD的对角线交于点O,     

一组有趣的剪纸题

问题1把图1中的格点多边形剪成四部分.要求:(1)沿格点剪裁;(2)四部分全部全等.问题2如图2,由五个相同的正方形组成的“+”字形纸板,请将它剪两刀,然后重新拼成一个正方形.问题3将正方形ABCD按图3(a)比例裁剪后拼成另一个矩形如图3(b),试求(x+y)∶y的值是多少?问题4有直角边分别等于2和3姨的直角三角形纸块(如图4),请将这个三角形剪裁成3块,再拼成一个正三角形(通过画图表示).问题5设M是△ABC(非等腰三角形)边BC的中点(如图5),求最小值n,使得可以把△ABM剪成n个小三角形,这n个小三角形能够重新拼合成一个全等于△ACM的三角形.问题6请…     

化归方法在一道高中数学竞赛题中的应用

题(1) 甲、乙两队各有7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少?(1988年全国高中数学联赛题) 题(2) 如图1,在直角坐标平面xOy上,坐标n、m均为整数的点(n,m)称为格点或整点。从格点(0,0)到格点(n,m)的一条递增路线是由一些边组成的,在它的上面的每一个格点都比它的前面的一个格点或者在x或者y方向上增加一个单     

速解《三角函数》问题的16个锦囊

锦囊1:遇求αn的象限问题,运用等分象限法一、“等分象限”法介绍已知α的象限,则确定αn的象限有如下锦囊:可先将各个象限n等分,从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1,2,3,4,直到将所有区域标完为止.如果α在第几象限,则αn就在图中标号为几的区域内.如:(1)判断α2的象限.如图1所示,将各象限2等分,若α在第三象限,则α2就在图中标号为3的区域内,即二、四象限的前半区域.3241234225°315°135°y45°1x图11324O14232314xy图2(2)判断α3的象限.如图2,若α在第三象限,则α3就在图中标号为3的区域内,即一、三、四象限.依…     

m×n矩形的格点三角形的个数问题

通过引入具有性质E的三角形的概念,继而求出m×n矩形的内含i×j矩形的具有性质E的三角形(简称E三角形)个数,进而求出m×n矩形的格点三角形个数.     

一道竞赛题的推广

2004年全国初中数学联赛的一道试题为: 图1 如图1,在2×3矩形方格纸上,各小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( ).     

16个锦囊应对三角函数题

锦囊1：遇求a/n象限问题,运用等分象限法．一、“等分象限”法介绍。已知a的象限,则a/n的象限有如下锦囊：可先将各个象限n等分,从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码1、2、3、4,直到将所有区域标完为止．如果a在第几象限,则a/n就在图中标号为几的区域内．     

探索数据归纳在求格点图形面积中的应用

<正>我们把网格线的交点称为结点,如果多边形的顶点都在结点上,则称这样的多边形为格点多边形(如图1).同时,我们将位于多边形内部的结点称为内点,位于多边形边上的结点称为外点.本文探究五个格点(凸)多边形(即矩形、平行四边形、三角形、四边形、五边形)的面积,这些格点多边形的内点数、边点数与其面积有什么关系?能否将这些格     

组合恒等式的几何证法

如图1,在直角坐标系中,过x和y轴的正整数点分别画垂直于x和y轴的两族平行线,它们相交成许多小方格,再把杨辉三角中的数字换成组合数写在坐标系的对应格顶点上,把下标换成格顶点的两坐标之和,并规定C_(0 0)~0=1,则杨辉三角变成组合三角。易知,从原点沿格边到格顶点(n,m)的最短折线数是C_(n m)~n为     

关于用t色染m×n棋盘问题

用t色染m×n棋盘（约定m≤n）有两种可能情形：对于任意一种染色方式，棋盘必定含有一个矩形，其四个角上的方格有相同的颜色（这样的矩形称为同色矩形）或存在一种染色方式，使得这个棋盘中的每一个矩形都不是同色矩形．文[1]、[2]分别解决了用3色染m×n棋盘及用n色染（n 1）×m棋盘问题，本文介绍一个方法，用它可以讨论t色染m×n棋盘问题．引理1若用t色染m×n棋盘，则至少 1个方格染有相同的颜色，简称为同色格．引理1的证明参见[3]P66．引理2若m×n棋盘中有a个小方格染有相同的颜色，不妨设为黑色．用aj=1、2、…、n）表示第j列中黑色…     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

利用折纸将长方形的长和宽n等分

在数学教学中,常常借助尺规作图来将一条线段n等分,但在生活中若想将一条线段n等分,又该借助什么工具呢？其实,一张长方形或正方形的纸足矣．借助折长方形来等分线段,可分为两类,即偶数等分和奇数等分．下面仅讨论奇数等分的情形．     

格点中点的一个结果

在R^n中我们把各个坐标分量都是整数的点称为格点或整点．本文中所指的鸽笼原理是指下面的定理． 鸽笼原理把m个元素分为扎类,如果m〉n,则至少有一个类中至少有两个元素．     

数学奥林匹克高中训练题（114）

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.设P为△ABC所在平面内一动点.则使得PA.PB PB.PC PC.PA取得最小值的点P是△ABC的().(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.如图1,在矩形ABCD中,AB=1,BC图1=m,O为矩形的中心,PO⊥平面ABCD,PO=n,且在边BC上存在唯一的点E,使得PE⊥DE.若平面PDE与平     

函数综合题二例

（1）求抛物线的解析式;（2）若点C为0A的中点。求BC的长;（3）以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点D的坐标为（m,n）,求出m,n之间的关系式．     

关于棋盘数学的一点注记

“棋盘数学”一文中证明了如图1的L形纸片,若能盖满m×n矩形,则8|mn。自然要问:满足8|mn的m×n矩形能被L形纸片盖满吗?回答上述问题,我们有结论:L形纸片能盖满m×n矩形的充要条件是:8|mn,且m≠1,n≠1。证:必要性:由“棋盘数学”例3,知8|mn,且m×1,1×n矩形均不能被L形纸片复盖。     

《机械制图》中关于角度任意等分的探讨

在进行<机械制图>"平面图形的画法"教研活动中,我们对"仅用圆规和直尺把一个角三等分是已经证明不能解决的世界难题"这一问题进行了研究.有老师提出该问题已经得到了解决,其方法为(如图1.2.3):如作角度的N等分(例如3等分),就用圆规从角顶点起从其中一夹角边取(N 1)个等分点(即3 1=4个等分点),然后用直尺从最后一个等分点作连线连于另一夹角边,并从其它各等分点起分别作平行连线如图1,并交于a、b两点,最后从角顶点起过a、b两点作两条角度平分线,如此则可"仅用圆规和直尺"对角度进行任意等分,解决了这一"世界难题".