图的染色

图的染色可以解决数学问题中涂色问题主要解法:利用抽屉原则——考察对象有限个,而结论涉及到必定存在型或多少型,制造合适的抽屉;反证法——考察对象无限的问题;分类讨论——要求证明考察对象中的部分具有某种性质,将总体进行分类;运用数论知识——以数代色的问题;数学归纳法——涉及自然数n的涂色问题;可化为涂色问题解的问题。     

利用涂色解题几例

近年来国内外的一些数学竞赛及一些数学刊物中,出现了许多关于涂色的题目,这些题一般无常规可循,解法独特而灵活多变,有较强的思维性。在涂色问题中,常要涉及运用图论、数论、组合数学等方面的基本知识,多许问题需要用到抽屉原理来解。鉴于有关题目多已在各种书刊上登出,不再赘述,这里只提出利用涂色解题的几个例子。 [例1] (第一届全国数学冬令营试题)能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着二个数,…,两个1986之间夹着1986个数?试证明你的结论。答:不存在满足条件的排列。略证如下     

换个角度解决一类平几题

文[1]、[2]中的例题,都是求两条线段的比或证明四条线段成比例,其几何图形都存在四组三点共线,六个相交点这一基本特征．解决这类问题的方法是选择其中一点作平行线,利用平行线分线段成比例定理解决（文[1]介绍的方法）;或利用杠杆平衡原理来处理（文[2]介绍的解法）,     

“涂色型”排列组合问题的求解策略

“涂色型”的排列组合问题,是通过实际问题情境给出图形按要求涂色的一种排列组合题型,是近几年试题改革的一个新的亮点．此类试题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力．解决此类问题的关键是找准入手点进行分类讨论．本文通过对若干例题的分析,试图说明此类问题的常见求解策略,供大家参考．     

“涂色型”排列组合问题的求解策略

<正>"涂色型"的排列组合问题,是通过实际问题情境给出图形按要求涂色的一种排列组合题型,是近几年试题改革的一个新的亮点.此类试题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能较好地考查学生分析问题和解决问题的能     

抽屉的构造方法与应用技巧

一、引言 抽屉原则:把m个元素以随意的方式置入n个集合中,至少有一个集合的元素不少于[m-1/n] 1个. 在国内外数学竞赛中,有关抽屉原则的问题不胜枚举,抽屉原则及其证明也十分简单,甚至不言自明.然而,有些存在性问题明知需要用抽屉原则解决,却又常常感到无从下手,难得要领,愿因固然很多,但主要是由于不能构造合适的抽屉.     

数线段的规律及其应用

同学们初学几何时,都会遇到数线段的问题,如下题:例1如图1,已知线段AE上有B、C、D三点,那么图中可读的线段共有多少条?解答上题有三种方法:一是无规则地数:如线段AB,CD,BD,…,这样很可能重复或遗漏.二是自左至右逐条数:如线段AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,这样就不容易出错.三是结合推理进行计算:线段AE上的每一点都可以与其余四点组成线段,共可组成5×4=20(条)线段,但每条线段都重复计算了一次(如线段AB与线段BA是同一条线段),因此实际线段总条数为20÷2=10(条).显然第三种解法简便而准确,尤其在点数很多的情况…     

一类趣味性习题的解法

近年来,国内外数学竞赛中常出现这类题目:“一个长方体表面涂上红色,纵、横、垂直方向分别截m、n、γ刀,共截得(m 1)(n 1)(γ 1)个小方体。求三面涂色,二面涂色,一面涂色,六面都没涂色的小方体分别是多少个?”类似这样类型的题目还很多。现给出这类题目的一般解法。     

以抛物线为载体的四类“一动点型最值问题”的通用解法

<正>若问题中只涉及一个动点,并且要求最值,我们称之为"一动点型最值问题".此类问题是近几年中考的热点问题之一.本文介绍以抛物线为载体的四类"一动点型最值问题"的通用解法.一、线段长度最值型问题例1(2010年眉山)如图1,RtABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴     

抛物线定长弦问题的再讨论

一、问题再现已知长为2的线段AB的两个端点在抛物线y=x²上滑动,求AB的中点M到x轴的距离的最小值及中点M的坐标.这是一道典型的抛物线的定长弦问题,下面笔者就这道题的解法及此类问题的一般结论谈点拙见,不当之处,望各位不吝赐教.二、问题解法分析1:考虑到线段AB是动态的,而点M到x轴的距离就是它的纵坐标,于是有如下方法.     

数形结合法解题需谨慎——对一道高考试题的探讨

本文对一道高考试题的解法进行粗浅的探讨,最后给出一个更具有一般性的解法。 问题1 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y~2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标。     

存在性智力趣题与抽屉原理

一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0     

“握手”问题——枚举中的重复计数

引入问题 直线上有4个点，共有几条线段？解法可以通过枚举把线段一一列出，不重复，也不遗漏（图1）．     

利用化归法求解双动点最值问题

<正>动点问题是初中数学的一个难点,也一直是中考的热点."双动点型线段的最小值"问题是指:目标线段的两个端点都是动点,在变化的同时相互又有内在关系,要求这类线段长度的最小值.由于在这类问题中,目标线段的两个端点都是变化的,很多学生会觉得难以把握而无从下手,甚至望题生畏.那么求解这类问题的关键是什么呢?     

浅谈“抽屉原则”及其应用

一、“抽屉原则”的基本知识抽屉原则是一个重要的组合学原则,又叫“鸽笼原则”,学名狄利克雷(Dirich-let、德国数学家)原则,大意是指一群鸽子飞进比鸽子数少的鸽笼里,可以断言至少有一只笼子里有不少于两只的鸽子。也可以描述为:若干本书放入比书本数少的抽屉中,那么至少有一个抽屉中有两本或更多本书。下面用数学语言来描绘抽屉原则。 1.抽屉原则的简单形式:把多于n个的元素按任一确定的方式分成几个集合,那么至少有一个集合中含有不少于两个的元素。用反证法证明:若分成的n个集体中,每个集合都不含有两个或两个以上元     

也谈从解析到直观

贵刊文[1]中问题1的解法1利用折算法把较为复杂的代数问题巧妙转化为几何中的线段问题再利用几何上的直观性使得代数问题被顺利解决这种解法读后很受启发,在教学上也有很好的借鉴作用·美中不足的是解法1中说点E为C关于AB的     

谈谈构造“抽屉”的几种方法

所谓抽屉原则就是:把m个物体,任意分放到n(n≥1,n≤m)只抽屉里,那么必有一只抽屉至少有k个物体,其中这个原理本身看来是很简单的,许多中学生中的数学爱好者都知道,即使不知道的,讲出来马上就可以接受。但利用它解决有关存在性问题,     

动点下的线段最值解法例析

正与函数图像上的动点有关的线段最值问题,是近年命制中考压轴题时经常涉及的内容.一般解法是用代数方法通过函数手段刻画"线段长"的解析式,再运用函数最值来研究,结合2013年中考试题,举两例来分析.1与动点有关的竖直方向上线段的最值计算——运动藏有量,函数捕捉.在求与函数有关的图形面积的最值问题中,有很多时候是要转化成求与之有关的线段的最值来完成.解法的关键是     

概率问题的三维解法

“概率与统计”是新课程的四大内容之一.在各地中考试卷中,关于概率的考题设计新颖、紧贴生活,深受学生喜欢.但有些考题让学生颇感为难.现以2005年中考试题为例,谈谈“一次、二次、三次或三次以上操作”概率问题的解法,在本文中称之为“三维解法”.一、一维直线法当题目条件是从若干个元素中一次抽出几个元素(即一次操作类问题)时.比如“从若干个球中一次摸出两球”时,为了确定可能情况,若应用“两点确定一条线段”的做法,即先画一条直线,并在直线上取若干个点,再找出图中共有哪些线段,此时有多少条线段便有多少种情况,从而解决问题.这种方…     

两个原则、两种方法解决排列组合中的涂色问题

<正>排列组合问题中频繁出现涂色问题,在解决此类问题时,许多同学显得束手无策。千变万化的涂色问题有没有规律可循呢?下面我们就进行探讨。一、涂色中需要注意的分类讨论问题1:如图1,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上三种不同颜色中的某一种,允许