逆用幂的性质解题

在解决有关幂的问题时,应注意灵活运用幂的运算性质,而若能熟练逆用幂的性质,则能化难为易,化繁为简,现举例如下. 例1 已知3~x=2,3~y=4,求3~(x+y)的值. 注意到本题指数“和”的关系,可将同底数幂的乘法性质反过来用,得3~(x+y)=3~x·3~y=8.     

2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛

一、选择题(每小题7分,共35分) 1.若a/b=20,b/c=10,则a+b=b+c的值为( )． (A)11/21 (B)21/11 (C)110/21 (D)210/11 2.若实数a、b满足1/2a-ab+b2+2=0,则a的取值范围是( ). (A)a≤-2 (B)a≤-2或a≤4 (C)a≥4 (D)-2≤a≤4     

变式视角 类错辨析

<正>1两种解法都正确吗问题设函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),求a+b的取值范围.解法1由已知不妨设a1.因为f(a)=f(b),所以lga=lgb.所以-lga=lgb,lga+lgb=0.所以lgab=0,ab=1.所以a+b≥2(ab)^(1/2)=21=2.因为a≠b,所以上式取不到"="号.所以a+b的取值范围为(2,+∞).反思这是很多数学参考资料中的解答.仔细思考这种解法严密吗?(a+b)取不到2就能得出(a+b)的取值范围为(2,+∞)吗?大于2的一切实数都能取得到吗?     

函数及其图象测试题

(时间:90分钟满分:100分)一、填空题(每小题3分,共30分)1.若点P(x,y)的坐标满足(x+1)2+y-3√=0,则点P关于原点的对称点P'的坐标是.2.函数y=x-1√2-x√中的x的取值范围是.3.若y-3与x成正比例,当x=2时,y=7,则y与x之间的函数关系式是.4.若y=(m2+m)xm-2m-1是二次函数,则m=.5.抛物线y=-2x2+8x-6的开口方向是,顶点的坐标是.6.若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=.7.若抛物线y=x2+ax-3的对称轴是y轴,则a=.8.设反比例函数y=-3x中x的取值范围是1≤x≤3,则变量y的最大值是.9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,22则一次函数y=-acx+b的…     

2010年全国高中数学联赛天津赛区预赛

一、填空题(每小题7分,共56分) 1.设实数a、b、c满足 a2-bc-2a+10=0, b2+bc+c2-12a-15=0. 则a的取值范围是______. 2.满足a2+ab+b2=2010的正整数解 (a,b)构成的集合为________.     

不等式与平面向量第一轮复习测试题

一、选择题 1.若a＞0,b＞0,且2a+b=1,则S=2√ab-4a2-b2的最大值是( ). A.√2-1/2 B.√2-1 C.√2+1/2 D.√2+1 2.已知不等式m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0恒成立,则实数m的取值范围是( ). A.[0,4] B.[1,4] C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[1,+∞)∪(-∞,0] 3.已知正方形ABCD的边长为,√2,→AB=a,→BC=b,→CA=c,则|a+b+c|等于( ). A.0 B.2 C.4 D.|b|=3√2 4.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( ). A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[1,+∞)     

用构造法解代数题

本文介绍用构造法解代数题的几种方法 .一、构造方程 (组 )例 1　如果x3+ax2 +bx+ 8有两个因式x+ 1和x+ 2 ,则a +b的值是 (　　 )(A) 7　　 (B) 8　　 (C) 1 5　　 (D) 2 1( 2 0 0 2年湖北省武汉市初中数学竞赛 )解　设x3+ax2 +bx+ 8的另一个因式为x+c,则有x3+ax2 +bx+ 8=(x + 1 ) (x+ 2 ) (x+c)=x3+ (c+ 3 )x2 + ( 3c+ 2 )x+ 2c∴a=c+ 3 ,b=3c + 2 ,8=2c.∴a=7,b =1 4,c=4.从而有a+b =7+ 1 4=2 1 .二、构造函数例 2　设关于x的方程ax2 + (a + 2 )x+9a =0有两个不相等的实数根x1 、x2 ,且x1<1 相似文献   

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②由①+②得32≤a≤3.又由①得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤23.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.即得f(-2)的取值范围是[3,12].错因分析本题从①+②到②+③,再到得出f(-2)的取值范围这一过程中,多次重复应用了不等式的可加性,而每次的“=”号不一定同时成立,从而使取值范围扩大.正解设f(-2)=m f(-1)+nf(1)(m,n待定),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b.∴m+n=4,m-n=2.解之得mn==13,.∴f(-2)=…     

巧用“估值法”解竞赛题

在解题中对所要考察的代数式的取值情况,进行合理的估算,确定其范围,往往能使问题趋于明朗,从而得以顺利解决.现举例说明如下.例1已知b为正数,a为b的小数部分,且a~2+b~2=27,则a+b的值是() (A)(26)~(1/2) (B)2(7)~(1/2)(C)     

1996年数学总复习质量检测题

一卷 一、填空题(共45分,每小题3分) 1.若方程x~2 ax-2a=0的一个根为1,则另一个根是___。 2.若关于x的一元二次方程(m~2-m)x~2 (m-1)·x 1=0有实数根,则m的取值范围是___。 3.已知(-2 5~(1/2))/2是方程4x~2 8x-1=0的一个根,则二次三项式4x~2 8x-1分解因式得___。 4.已知点P的坐标是(a,b),巳ab<0.则点P关于y轴对称的点在第__象限。 5.函数y=((x 3)~(1/2))/(x-2)的自变量x的取值范围是     

数学奥林匹克初中训练题(135)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知a,b为不等的正实数,且a3-b3=a2-b2.则a+b的取值范围是( ).     

一道全国初中数学竞赛题的多种解法

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…     

一类指数方程的解法

方程((5+2 6~(1/2))~(1/2))~x+((5-2 6~(1/2))~(1/2))~x==10(上海1958年数学竞赛题)与方程((2+3~(1/2))~(1/2))~x+((2-3~(1/2))~(1/2))~x=4的解都是±2,它们形式相似,解又相同。那末,这类方程有没有一定的规律性呢?本文就探讨这一问题。定理1 若a>0,b>0,a~2-b=1,c≥2,则方程 (a+b~(1/2))~x+(a-b~(1/2))~x=c (Ⅰ)的解是     

初三年级数学期末试题

一、选择题 (每题 4分 )1 .已知 :a + 2bb =23,那么 ab =(　　 )　　 (A) -43　 (B) 43　 (C) -34 　 (D) 342 .化简 :8ab2 (b <0 )的结果是 (　　 )　　 (A)b 8a　　　 (B) 2b 2a　　 (C) -b 8a (D) -2b 2a3.方程x+ 2 =-x的实数根为 (　　 )　　 (A)x1 =2 ,x2 =-1　　 (B)x1 =-2 ,x2 =1　　 (C)x=2　　 (D)x=-14.函数 y =-2x -1的自变量的取值范围是 (　　 )　　 (A)x≥ 12 　　 (B)x<12　　 (C)x≠ 12 (D)x≤ 125 .以 5 + 1、 5 -1为两根的一元二次方程是(　　 )　　 (A)x2 + 2 5x-4 =0　　 (B)x2 + 2 5x-4 =0　　 (C)x2 -2 5x + …     

巧借双换元法求解代数式最值题

<正>在解题中,经常碰到求解多变元代数式的最值或取值范围问题.其中有一类问题可以对题中的变量进行双换元,从而可以达到非常有效地解决问题的目的.一、根式之和的代数式问题例1(2015年重庆高考题)设a>0,b>0,a+b=5,则(a+1)~(1/2)+(b+3)~(1/2)的最大值为     

1999年高考理科第(17)题的六种解法

若正数 a、b 满足 ab=a b 3,则 ab 的取值范围是(1999年高考理科第(17)题).下面给出此题的六种解法,供参考.解法1 因为 ab=a b 3,a>0,b>0,所以(a-1)b=a 3.且 a-1>0,所以 b=(a 3)/(a-1).ab=(a~2 3a)/(a-1)=(a-1) 4/(a-1) 5≥2 4~(1/2) 5=9.当且仅当 a-1=4/(a-1)即 a=3时取等号.     

圆锥曲线与方程错解剖析

∴ba22=14,即a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-32)2=a2(1-yb22)+y2-3y+49=-3(y+12)2+4b2+3.∴当y=-12时,d2有最大值,从而d也有最大值.∴4b2+3=(姨摇11)2,由此解得b2=2,a2=8.∴所求椭圆的方程为x82+y22=1.剖析本题错在由当y=-12时,d2有最大值,这步推理没有考虑到b的取值范围.事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以有-b≤y≤b,因此在求d2的最大值时,应分类讨论.若b<12,则当y=-b时,d2有最大值.于是(姨摇11)2=(b+32)2,从而解得b=姨摇11-23>21,与b<21矛盾.所以必有b≥12,此时当y=-12时,d2有最大值,从而4b2+3=(姨摇11)2,解得b2=2,a2=…     

一元一次不等式(组)同步训练(配合北师大版)

姗豪填髯题 1.若Ix一21=2一、,则、的取值范围是 2.不等式2x一1宾8的正整数解是 3.小明要用三根木棒制作一个下角形,他已经选好了较短的两根木棒,长分别是20 cm和30 cm,那么第三根木棒的长所在范围是 4.己知y=2二一3,当一2成)<3时,x的取值范围是_. 5.不等式一3恤+2)>a+2的解集是负数,则a的取值范围是6.x时,代数式1一3% 4一2的值所对应的点都在数轴原点的左边(不包括原点).一表选择题7.已知d)2,。蕊4b>0,b蕊2则。、b之间的大小关系是(A.口>b B.。=b C.。<占D.。簇b&一户丁,且‘>0,少j到Blxl=甲C.曰<口B.…     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3