共边三角形的面积定理及其应用

在平面几何的图形中,我们把有一条公共边的两个三角形称为共边三角形,共边三角形的问题是常见的,由于共边三角形的面积与边之间有一些特殊的关系,本文试提出一个有关共边三角形的面积定理,运用该定理,可以处理许多初中几何问题和解决数学竞赛中有关平几的试题.定理(共边三角形的面积定理):若ΔABC与ΔABD有公共的边AB,CD与AB(或它们的延长线)相交于P,则(S_(ΔABC))/(S_(ΔABD))=(CD)/(DP)证明:ΔABC与ΔABD共边AB,共有四种不同情况,如图所示,但证法相同.     

三角形的面积等分问题的探索

1　过三角形的顶点作直线等分三角形的面积由于“等 (同 )底等高 (同 )”三角形的面积相等 ,所以过三角形的顶点和对边中点所作的直线等分三角形的面积 .如图 1所示 ,直线AF、BE、CD都分别平分△ABC的面积 .2　过三角形一边上任意一点作直线等分三角形的面积如图 1,假设过直线AC上的任意一点作直线等分△ABC的面积 ,如果所经过的点在线段AE上 ,那么所作的直线一定与线段BF相交 ;同理 ,如果经过的点在线段EC上 ,那么所作的直线一定与线段BD相交 .下面以过线段AE上的任意一点G为例作出其等分△ABC的面积的直线GH .作法　 ( 1)连结…     

关于三角形两个特殊点的一类不等式

文[1]给出了ΔABC 特殊点(外心、内心、重心)与三角形三个顶点 A、B、C 所构成的三个小三角形的外接圆半径与ΔABC 外接圆半径之间的若干不等式,本文补充给出三角形的勃罗卡点、费马点的几个类似不等式,供参考.命题1 设 F 为ΔABC(最大内角小于120°)的费马点,ΔBFC、△CFA、△AFB 及ΔABC 的外接圆半径分别为 R_1、R_2、R_3、R,则     

“三线”教你解三角

三角形的角平分线、中线和高线是三角形中三条重要的线段理解"三线"的概念对证明线段和角之间的关系起着重要的作用,因此地位尤为突出.一、三角形角平分线的用法用法1直接应用角平分线的性质例1如图1,点I是ΔABC的内心,AI交ΔABC的外接圆于点E,交边BC于点D,连接BE.求证:EB=EI.     

“面积等分线”的应用

根据“同底等高的两三角形面积相等”,我们不难得到：三角形的中线具有等分三角形面积的特性,具体地,若线段AD为ΔABC的中线（如图1）,则SΔABD=SΔACD;反之也成立,因此,我们常把三角形中线称为面积等分线．     

利用“共底”三角形巧解中考面积最大问题

<正>"共底"三角形的构造如图1,在△ABC中,直线MN经过点A,交BC于点D,过点B、C分别作MN的垂线,垂足分别是E、F.则△ABD和△ACD构成"共底"三角形."共底"三角形的面积△ABC的面积就是"共底"△ABD和△ACD之和.过C作JQ∥MN,延长BE,交     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的推广

原题【2000年全国高中数学联赛加试试题】如图1,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N是垂足),延长AE交△ABC的外接圆于.求证:四边形DAMDN与ΔABC的面积相等.     

对一道中考作图题的思考

<正>题目如图1,将ΔABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.(1)ΔABC的面积等于___;(2)若四边形DEFG是ΔABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图的方法(不要求证明)     

母子三角形内旁切圆的性质

定理 设D为ΔABC的边BC上任一内点，且r、r1、r2分别为ΔABC、ΔABD、ΔACD内切圆的半径，r′、r1′、r2′分别为相应三角形ABC外旁切圆的半径，h为ΔABC的BC边上的高，则。     

关于Fermat点的一个等式和一个不等式

在△ABC中,设R,r,s,Δ分别为外接圆、内切圆半径,三角形半周长和面积,a,b,c为边长,F为△ABC内部费马点,记FA=x,FB=y,FC=z,则有     

角的平分线定理的一个推广

三角形内(外)角平分线定理三角形的内(或外)角平分线分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。证明:这里采取利用三角形面积的证法。如图1,AD(AE)是△ABC的内角∠CAB(外角∠CAF)的平分线,作DG⊥AB,自D作AC的垂线交延长线于H,则DG=DH。于是 S_(ΔABD):S_(ΔACD)=(1/2AB×DG):(1/2AC×DH)=AB:AC又设BC与AD的夹角为α(锐角),则当以AD为底时△ADB与△ADC的高BM、CN分别为BDsinα,DCsinα。这样,S_(ΔADB):S_(ΔADC)=(1/2AD×BDsinα)     

2000年全国高中数学联赛加试平面几何题的5种证法

(2000年联赛题)如图1,在锐角三角形ABC 的 BC 边上有两点 E,F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC,(M、N 是垂足),延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点.证明:四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等.     

判别三角形重心的五种方法

方法1:设ΔABC的两条中线BE、CF相交于G,则点G是ΔABC的重心。(图一)这种方法的理论根据来源于三角形重心的定义,无须证明。     

等积的两个结论及其应用

证明两个多边形的面积相等,首先要掌握有关面积的性质和三角形的面积公式及其推论,其次还要掌握下面的两个结论。一、等积的两个结论 1.如图1.D是ΔABC中BC边上的中点,则要S_(ΔABD)=S_(ΔACD)。(等底同高的三角形的面积相等)     

每期一题

题:锐角三角形ABC的顶角A的内分角线交BC于L,又交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足是K和M。求证:四边形AKNM的面积等予三角形ABC的面积。(第28届IMO试题第一试2题)     

数的探究 美的启迪

正在复习中如何转变思维,给学生空间去思考问题的本质?笔者就一节公开课(解三角形中面积的最值问题)谈谈自己粗浅的想法,以求抛砖引玉!1例题指引,数的探究题目设ΔABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=7/9,求三角形ΔABC的面积?     

一道课本习题的探究与应用

原题:如图1,直线11∥12;ΔABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19.1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有     

周界中点三角形两个面积不等式的最佳形式——等式

设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了：     

2011年高考福建卷·理10的求解与拓展

2011年高考福建卷·理10为:已知函数f(x)=ex+x,对于曲线上横y=f(x)坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判BC断:①ΔABC一定是钝角三角形;②ΔABC可能是直角三角;③ΔABC可能是等腰三角形;④ΔABC不可能是等腰三角形.