一道竞赛题的解法及推广

如图1:T是锐角三角形,矩形R、S的一部分内接于T,设A(x)表示图形x的面积,求:A(R)+A(S)/A(T)的最大值。这是1987年上海市中学数学竞赛第二试第一题。本文将给出这个题目的解法及结论的推广。解:如图1,作锐角三角形T的高BD,设T的底边为a,矩形R、S的长、宽分别为b、x,c、y,顶端三角形的高为z。根据三角形相似得:b/a=(y+z)/(x+y+z),c/a=z(x+y+z)于是b=(y+z)/(x+y+z)a,c=z/(x+y+z)a故(A(R)+A(S))/A(T)=2(bx+cy)/a(x+y+z)     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…     

一个无理不等式及其应用

在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式: 问题 设a≥x＞1,b≥y＞1,c≥z＞0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)＜√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.① 等号仅当a:x=b:y=c:z时成立. 下面给出不等式①的几个应用.     

例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.     

再谈分式不等式证明中的代换法

笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1　分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1　 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 :　 b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明　设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx…     

浅谈椭圆焦点三角形的性质

所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1　 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1　△F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2　 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3　△PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明　设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -…     

一个条件等式的妙证、推广及应用

文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1　简证　由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2　推广定理　设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am …     

应用“当且仅当…时取等号”解题

在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0,     

利用“广义判别式”解题的一些技巧

在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二…     

一道竞赛题的新证法

2005年全国高中数学联赛加试第二题为:设正数a、b、c、x、y、z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=1 x2x y21 y 1z 2z的最小值.本文给出不同于标准答案的一种简捷证明.证明:由已知得b(az cx-b) c(bx ay-c)-a(cy bz-a)=0.即2bcx a2-b2-c2=0所以x=b2 2cb2c-a2同理y=a2 2     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

集锦 一个命题的改进和推广

《数学通报》2 0 0 0年第 1期“数学问题”12 34题为 :设三角形三边 a,b,c所对内角的弧度数分别为α,β,γ.求证 .aα(β γ) bβ(γ α) cγ(α β)a b c <π24(1)《数学通报》2 0 0 0年第 2期给出的证明过程始终要依赖 a,b,c是三角形三边之长 ,显得较为复杂 .本文把 (1)作进一步改进且证明更简便 .命题 1　设三角形三内角的弧度数分别为 A,B,C实数 x,y,z非负且 x y z≠ 0 ,则A(B C) x B(C A) y C(A B) zx y z <(π2 ) 2 . (2 )证法 1　 M=A(B C) x B(C A) y C(A B) z=(x y z) (AB BC CA) - (BCx CAy ABz)…     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

对两个不等式的再探讨

文[1]给出如下一个不等式: 设a,b,c 是三角形的边长,则 a2b b2c c2a ≥ (a b c)(ab bc ca) . 1 ① 3并由此导出另一个“精制”不等式: 设 x, y,z∈R ,则 x 3z y 3x z 3y≥     

有趣的点的轨迹--椭圆

椭圆是一个完美的几何图形 ,笔者在最近的教学研究中 ,得到了三个与之有关的有趣的轨迹 ,现整理如下 ,供同行人士参考 .　　　　　图 1定理 1　 (焦点三角形重心轨迹 )设A是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>b >0 )上一点 ,F1(-c ,0 )、F2 (c ,0 )分别是左、右焦点 ,则△AF1F2 的重心轨迹是椭圆 x2(a/ 3) 2 + y2(b/ 3) 2=1,其离心率与原椭圆离心率相等 .证明　设点G(x ,y)是△AF1F2 重心 ,如图 1.因为点A在椭圆上 ,则A(acosθ ,bsinθ) .由三角形重心坐标公式x=-c+c+acosθ3=acosθ3,y =0 + 0 +bsinθ3=bsinθ3,消去θ整理得　 x2(a/ 3) …     

巧算平均数

【例1】　已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】　已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是　　　　.解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】　求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73…     

焦点三角形内心和旁心轨迹

笔者最近对椭圆和双曲线焦点三角形做了些研究 ,得到了两个十分有趣的重要的轨迹 ,现说明如下 ,供读者参考 .定义　以椭圆或双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形 .1　椭圆焦点三角形内心轨迹定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b >0 )上的一点 ,E( -c,0 )、F(c,0 )分别是左、右焦点 ,e是椭圆的离心率 ,则△PEF的内心轨迹是椭圆 x2c2 +y2( eb1 +e) 2=1 ,且该椭圆长轴与原椭圆长轴之比等于原椭圆的离心率e.证明 :设A (x ,y)是△PEF的内心 ,PA交x轴于点B ,如图1 .由三角形内角平分线性质知|BA||AP|=|EB||EP|=|FB||F…     

椭圆的几个有用性质(高二、高三)

以下给出的椭圆的5个性质很有用,证明不难,请同学自己完成. 1.设M(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点,r1和r2分别是点M与焦点F1(-c,0)、F2(c,0)的距离,则r1=a+ex0,r2=a-ex0,其中e为离心率. 2. 设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(0>b>0,c>0)的     

一个条件不等式的证明——兼擂题（63—1）解答

本刊 2 0 0 3年第 5期有奖解题擂台 (63 )中 ,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题 :证明或否定 ,设a >b >c >0 ,x21a2 y21b2 z21c2 =1 ,x22a2 y22b2 z22c2 =1 ,且 (x -x1 x22 ) 2 (y -y1 y22 ) 2 (z -z1 z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 (y1-y2 ) 2 (z1-z2 ) 2 ],则x2 y2 z2 ≤a2 b2 c2 。上述问题中的结论是成立的 ,本文给出一个证明。证明　由x21a2 y21b2 z21c2 =1x22a2 y22b2 z22c2 =1知 ,P1(x1,y1,z1) ,P2 (x2 ,y2 ,z2 )是椭球面 x2a2 y2b2 z2c2 =1上的两点 ,设P1P2 的中点为P0 ,则P0 点坐标为 (x1 x22 ,y1 y22 ,z1 z…     

一个数学问题的研究性学习

1　问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2　转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知　a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ …