开展探究性学习 培养学生创新意识

所谓“探究性学习”,是指在教师的指导下,让学生以发现、发明的心理动机去探索、寻找解决问题的方法;以类似科学研究的方法获取知识、应用知识解决问题,从而在掌握知识的同时,让学生体验、理解和应用科学方法,培养创新精神和实践能力。在初中数学课堂教学中,我们教师应积极挖掘课本中的创造性因素,以课本例题为载体,组织学生适时开展一些探究性学习,把学生创新意识的培养渗透到教学过程中。下面以初三几何课本第144页例4为例谈谈我的做法。例题:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。对以上例…     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p.144页有这样一道例题: 已知:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点. 求证:AB⊥AC.     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

注重学生能力的培养 提高课堂教学效率

培养学生的能力是数学教学的核心,是促进学生全面发展的重要内容。教学中教师应做到“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”,让学生主动获得知识、提高能力,从而提高课堂教学效率。下面笔者以一节数学公开课为例,结合自己多年的教学实际谈一些体会和认识。这节课在向学生介绍了“圆内接四边形的外角等于它的内对角”的定理之后,给出了一道例题,旨在具体应用这个定理。这道例题是:⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,经过点A的线段CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D,过点B的线段EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F,求证CE//DF。教师在引导学生进行分析之后,…     

例题与联想

初中《几何》第三册第144页例题,给我们展示了一个广阔的联想空间。学会联想,善于联想,对于数学的学习无疑能起到举一反三、触类旁通的作用。例题如图,⊙O_1、和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。简证过点A作两圆的内公切线交BC于D。易证: BD=AD=DC ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC。     

一道课本例题的引申与运用

题目如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.作两圆的内公切线,即何证明本题.如果把此题作为“基本     

一道几何例题的开发

现行初中几何第二册p124上有这样一道例题,如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。此题貌似平常,但只要我们对其作深入的发掘,便能得出一系列有趣的结果,这对于激发学生的学习兴趣,培养学生的能力是极为有益的。首先我们给出三个有别于教材的简单证明。证法一:如图2,连结O_1O_2,O_1B,O_2C因为BC是两圆的公切线,所以O_1B⊥BC,     

深化例题教学培养创新精神

实施素质教育 ,培养学生的创新能力 ,使学生具有自主学习、独立思考、勇于实践、善于创造的现代素质已成为现代教育的主要目标。在教学中 ,对学生各种能力的培养 ,很大程度上是通过例 (习 )题讲解来体现并完成的。因此 ,在教学过程中选择一些有意义、不太复杂的例题挖掘其各个侧面 ,有助于发展学生的思维能力和培养学生的创新精神。本文以人民教育出版社的九年制义务教材几何第三册第 1 44页例 4为例来谈谈如何深化例题教学 ,培养学生的创新精神的体会。例题 :如图 1 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切…     

“切点三角形”的探究性学习

题目　如图 1,已知⊙O1 和⊙O2 外切于点P ,AB是⊙O1 和⊙O2 公切线 ,A、B是切点 ,求证 :PA⊥PB(人教版《几何》第三册p .12 9例 4 ) .图中△PAB一般称为切点三角形 .其演变极为丰富 .本文拟对其作一探究 .在探究中注意到合情推理的运用、对称观点的把握和对题目本质的揭示 .探究一 :公切线的演变变 1　公切线演变为一圆切线 ,一圆割线 .如图 2 :直线AB交⊙O1 于点A、C ,切⊙O2 于点B .则结论该如演变 ?简析　此时原题中的点A分化为A、C ,原题中的∠APB分化为∠APB和∠CPB ,易证∠APB+∠CPB =180° .变 2　公切线演变为两…     

让课本题目鲜活起来

“源于教材 ,活于教材”是数学中考题的显著特征 ,因此 ,在基础知识学习和基本技能的训练中 ,要善于对常规题作变式思维 ,以教材基本内容为背景 ,抓住典型题进行演变 ,从而让课本题目鲜活起来 .图 1题目　如图 1,已知⊙O1 、⊙O2 相切于点T ,直线AB、CD经过点T ,交⊙O1 于点A、C ,交⊙O2 于点B、D .求证 :AC∥BD .(人民教育出版社《几何》(第三册 ) 1994年 10月、2 0 0 0年 10月版P97)该题证明方法很多 ,如过点T作两圆的公切线 ,再由弦切角性质等获证 ,这里不再赘述 .本文介绍以此题为背景的几种变式题 .图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙…     

一道平几例题在解题教学中的作用

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知,⊙O_1和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B,C为切点。求证:AB⊥AC。这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点。近年来,许多中考题就是由此题演变而成的。笔者认为,教师在课堂教学中抓住这种典型问     

“三点共线”了吗?(初三)

“三点共线”,在几何中经常遇到,在具体应用时,常犯的错误是将图形的直观当作条件. 题如图1,⊙O1和⊙O2内切于P点,l为两圆的公切线,大⊙O2的弦AB与小⊙O1相切于C点,延长BA与,交于D点,∠PDA=60°.     

两圆外切的一个基本图形及其应用

学习平面几何,如果能积累一些重要的、常见的基本图形,熟悉它们的有关性质,对开拓解题思路,提高证题技巧是大有益处的.初中几何(人教版)第三册有这样一道题:题目如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.证明过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC     

源于课本的中考题

近几年的中考题有不少是由书本的例题、习题改编而成的郾这类题具有典型性,它源于教材,高于教材,活于教材.为此,认真研究教材的例题和习题是一种行之有效的学习方法.下面以华东师大版教材九年级(上)第76页第18题为例,分析以此题为背景的2005年的两道中考题.教材原题:如图1,已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O1和⊙O2于点C、D,过点B任作一直线分别交⊙O1和⊙O2于点E、F.试说明:数学学习S H U X U E X U E X I39(1)AC、A D分别是⊙O1和⊙O2的直径;(2)AE与AF的比是一个常数.2005年三明市中考第23题:如图2,已…     

公切线在解两圆问题中的桥梁作用

<正>在解决有关两圆相切的问题时,公切线作为作辅助线,是解决问题的关键.当题目的已知条件中有两圆相切时,过切点作两圆的公切线,构造弦切角,从而架设两圆之间的桥梁,常常会使问题迅速获解.例1如图1,⊙O'与⊙O内切于点A,⊙O的弦BC切⊙O'于点D,AB、AC分别交     

题虽在书外 根却在书内——探究源于课本的中考几何题的设计方法

在2009年全国部分省市中考数学试卷中,涌现出一大批源于课本的几何试题,这类试题有的一步到位,直接选用课本原题;有的进行改装、引伸、拓展课本中“读一读”“想一想”与“做一做”的内容成为中考题.这类试题紧扣书本和大纲,体现了基础性和学好课本知识的重要性,有着较好的导向作用,对于引导师生重视基础、重视书本、研究教材、重视教材、用好用活教材,均大有裨益.随着素质教育的不断深化,为进一步体现《数学课程标准》的理念,笔者认为:这类紧扣课本的试题将是命题的热点,且会长盛不衰,因此有必要提醒师生注意对课本知识的学习与挖掘,以达到灵活变通的目的.下面就以2009年部分省市中考几何试题为例,谈谈源于课本的试题设计方法,供参考.1直接选用课本例题并增设问题图1例1(承德市)如图1,⊙O1与⊙O2外切于A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B,C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1,r2分别为⊙O1,⊙O2的半径,且r1=2r2,求AACB的值.点评本题第(1)题选自人教版《几何》第三册第129页的例4,并在原题的基础上引伸提高,构思出第(2)题,使问题得到了拓展,对相关知识进行了综合,题目不难,然而它提醒我们,题在书外,根在...     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

巧用口诀学好《圆和圆的位置关系》

同学们在学习《圆和圆的位置关系》时,记住下面这几句口诀,有助于掌握本单元的定理及用这些定理来证明和计算相关的问题.口诀内容如下:圆集几何之大成,圆圆位置是关键:两圆相切作公切,画连心线过切点;两圆相交连公弦,连心线是中垂线;圆心若在别圆上,首先应把半径连.下面举例说明口诀的实际应用.例1如图1,两圆内切于点P.⊙O1的弦AB切⊙O2于点C,PC的延长线交⊙O1于点D.求证:(1)∠APD=∠BPD;(2)PA·PB=PC2+AC·BC.分析:因为两圆内切于点P,根据口诀(两圆相切作公切),过点P作两圆的公切线.证明:(1)过点P作两圆的公切线MN.因为MN切…     

切点三角形研究

什么是切点三角形呢,我们来看九年义务教育教科书人教版初中《几何》第三册129页例4:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC. 这里的△ABC习惯上称为切点三角形.切点三     

逐步扩散的两组练习题

为了诱导学生进行综合练习,开扩视野,提高分析问题和解决问题的能力,我在初《几何》第二册P_(122)“两圆的公切线”一节教学后,编串了下面一组练习题: 1、如图(1),⊙o_1与⊙o_2外切于P,过P点的直线分别交⊙o_1于A,交⊙o_2于B,Q为两圆外任一点,连结QA、QB分别交⊙o_1于C、交⊙o_2于D。求证:P、D、Q、C四点