一个整除问题的证明

《趣味数学集锦》一书中,有这样一个整除性问题:任取一个n位整数,以你喜欢的方式,将这n个数字任意重新排列,则开头的数与新数之间的差,总能被9整除.     

整除性问题的构造性证明

在数学解题过程中,直接举出满足条件的数学对象(或反例),导致结论的肯定(或否定),或者利用具体问题的特殊性,设计一个框架,通过问题的转化来解决,这种解题方法称为构造法,构造法是一种重要的数学思想方法,应用构造法证明某些整除性问题,常可收到事半功倍的效果。在整除性问题的构造性证明中,常见的“构造”有以下几种: 一构造函数例1 证明 3~(1980)+4~(1981)能被5整除。(1980年上海市初中数学竞赛题) 证明构造函数     

一个整除性问题

设p是奇素数，r=（p-1）／2．又设ai（i=1，2，…，n）是与p互素的整数，b=（a1＇-a2’）（a2＇-a3＇）…（an＇-a1＇）．证明了：当n是奇数时，必有b=1（mod p）；当n是偶数时，存在ai（u=1，2，…，n）可使b≠0（mod p）．     

一个整除性问题

设p是奇素数,r=p(-1)/2.又设ai(i=1,2,…,n)是与p互素的整数,b=(a1r-a2r)a(2r-a3r)…(anr-ar1).证明了:当n是奇数时,必有b≡0(mod p);当n是偶数时,存在ai(i=1,2,…,n)可使b≠0(mod p).     

一个整除问题的推广

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:证明:(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 四川秦北波同志在《数学教学通讯》1991年第2期以“一个整除问题的精巧证明”为题给出了这一习题的一个精巧证明。下面利用费波那契数列的通项公式给出它的一个推广。命题: [2((1+(5~(1/2))/2)~(2k-1]~n+[2(1-(5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除[n∈N,k∈N)。证:(1)当k=1时,原命题变为:(1+5~(1/2))~n+(1-5~(1/2))~n能被2~n整除,此命题可用第二数学归纳法证。     

关于一类整除性问题的证明

[定理] m个连续整数的连乘积能被m!整除。证:设m个连续整数中最大的一个为n。当n≥m时,C_n~m=(n(n-1)…(n-m+1))/m!是整数,故命题成立。当n相似文献   

关于一个整除性问题

先观察一例:若n为非负整数,则3~(4??+2)+5~(2n+1)能被14整除. 证明:由二项式定理(a+b)~n=am+b~n,(m∈N)则3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5·25~n =9·(56+25)~n+5·25~n =56m_1+9·25~n+5·25~n(m_1∈N) =14m_2+14·25~n(m_2∈N) =14(m_2+25~n)=14m_3.(m_3∈N) 故3~(4n+2)+5~(2n+1)能被14整除. 考察3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5.25~n有     

由一个整除的证明探索能被特殊数整除的数的规律

题目 求证：若def^- -abc^-能被1001整除，则6位数abcdef^-能被1001整除。 证明 abcdef^-=1000abc^-＋def^-≡-abc^-＋def^-（mod1001）.若def^- -abc^-能被1001整除，则6位数abcdef^-能被1001整除。事实上。     

一个整除问题的再推广

命题一 (3 5~(1/2))~n (3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 这是中学数学中一道十份常见的题目,《数学教学通讯》1992年第4期吴跃生老师给出了命题一的推广,即命题二 [2((1 5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n [2((1-5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除(n∈N,k∈n) 而[2((1 5(1/2)/2))~(2k-1)]~n [2((1-5(1/2)/2))~(2k-1)]~n=2~n[((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) [2(((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n],于是命题二等价于命题三 ((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) ((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n)是整数(n∈N,k∈N),事实上,命题三可以进一步推广成     

对一个整除问题的推广

推广《数学通报》2003第12期数学问题1466号，得到几个更一般化的性质，形成了一系列优美的结论．     

对一个整除问题的推广

推广《数学通报》2003第12期数学问题1466号,得到几个更一般化的性质,形成了一系列优美的结论.     

证明一类整除性问题的基本方法

例对于同样的整数x和y，在表达式２x＋３y和９x＋５y中，如果有一个能被１７整除那么，另一个也能被１７整除．（１９８４年匈牙利奥林匹克数学竞赛试题解法１：利用二元一次不定方程的“通解”可使得这类整除性问题获解．方法如下：依题意，可设２x＋３y＝１７k（k为整数）．易求得此二元一次不定方程的“特解”是x０＝４k，y０＝３k 所以，上述二元一次不定方程的“通解”是x＝４k＋３t，y＝３k－２t （t为整数）于是９x＋５y＝９（４k＋３t）＋５（３k－２t）＝５１k＋１７t＝１７（３k＋t）．即９x＋５y能被１７整除．同理，也可设…     

刍议数学归纳法证明整除性问题技巧

用数学归纳法证明整除性问题,如:求证f(n)能被a整除,设f(n)是随自然数变化的已知整式(或整数),a是给定的整式(或整数).由假设n=k时命题成立,来推证n=k+1时命题也成立,是最关键的一步,也是最难证明的一步.如果用f(k+1)除以f(k),求出它的余数(或余式),即设f(k+1)=qf(k)+r,q为商,r为余数(或余式).若r能被a整除,则由假设可知f(k+1)能被a整除,即n=k+1时命题也成立.这样,就极大地简化了证明过程.     

对用数学归纳法证明整除问题的补充

贵刊在一九八六平第一期刊登明理编选的《用数学归纳法证明整除问题的两种常用方法》一文。文中“十六字法”和“带余除法”能在课本的基础上加以提炼、总结,很值得借鉴。但是用数学归纳法法证明整除问题,还有两种常用的方法——辅助变量法和作差法,介绍于下:     

抽屉原则在证明整除性问题中的应用

应用抽屉原则，解决有关整数的整除性的证明问题。     

一个整除问题的简证及推广

《数学通报》2004年第1期刊登了1466号问题“设M=5^2001＋7^2002＋9^2000＋11^2004,求证：M能被8整除．”的证明,文[1]中对这个整除问题进行了推广,推广结论如下     

一个问题De证明

大家知道,一束单色平行光从空气射向玻璃棱镜,光线通过棱镜后,将向底面偏折,出射的光束仍是平行光。高中《物理》(乙种本)在“棱镜”这节教材后有一个“黑盒子”习题,要求在图1的方框内填画一个棱镜(非全反射棱镜)。但仔细观察该图可以看出,出射光束的宽度小于入射光束的宽度。那么,这样画是否确有道理,什么条件下会出现此种情况呢?下面就以光线在棱镜主截面内的折射为例,讨论一下这个问题。如图2所示,折射率为n的玻璃棱镜,放置在真空(或空气)中,一束单色平行光入射在折射面AB上时,入射角为