一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大,是中考特别是竞赛中的爬坡题型.本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法. 例1 已知方程x2+(α-6)x+α=0(α≠0)的两根都是整数,试求整数α的值. 思路分析:当α取值不同时,方程的系数就随之不同,方程的根的情况也就发生变化.究竟什么情况下,方程的两根都是整数呢?还是从根与系数的关系人手比较好. 解:设方程的两整数根为为x1、x2,根据根与系数关系得     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系是中学代数的重要内容之一,也是一个难点。每年全国各省市中考数学试题中,都有与一元二次方程的根与系数的关系有关的试题。因此,本文介绍一元二次方程根与系数的关系的简单应用。 一、已知一根求另一根及待定系数的值 例1 已知方程2x~2+kx-10=0的一个根是-2,求它的另一个根及k的值。 (2000年江西省南昌市中考题)     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

巧构一元二次方程解题

<正> 有些题用常规解法比较困难,若根据其结构特征,恰当地构造一元二次方程,利用根与系数的关系或判别式来解,往往能收到奇妙的效果. 一、构造方程求代数式的值例1 已知实数a、b、c满足2~(1/a)=4-2~(1/b),2~(1/c)=2~(1/ab)-4.求a     

巧用一元二次方程的根

同学们在学习了一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系以后 ,很容易形成思维定势 :只要是一元二次方程的根 ,就用根与系数的关系 .有时会出现计算量很大的情况 .若能巧妙运用方程的根 ,则可化繁为简 .例 1　已知α、β是关于ｘ的方程 :ｘ2 +(ｍ + 2 )ｘ +ｍ + 7=0的两个实根 ,且α2 + β2 =5 ,ｐ、ｑ是关于ｙ的方程ｙ2 + (ｎ -1)ｙ +ｍ =0的两个实根 .求(ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )的值 .(1999年北京市八一中学中考模拟题 )解法一　 (略解 )由α2 + β2 =5 ,易得ｍ =-5 .∴　 (ｍ +ｎｐ +ｐ2 ) (ｍ +ｎｑ +ｑ2 )=(-5 +ｎｐ +ｐ2 …     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,     

根与系数的关系在解题中的应用

以一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根与系数的关系为考点的中考试题 ,题型多样 ,解法灵活 ,且常考常新 .本文以 2 0 0 0年部分地区中考试题为例 ,说明根与系数的关系的应用 ,供同学们参考 .一、已知一元二次方程的一个根 ,求另一个根及参数的值例 1　已知方程 2ｘ2 +ｋｘ -1 0 =0的一个根为 -2 ,求它的另一个根及ｋ的值 .( 2 0 0 0年江西省中考题 )解　设另一个根为ｘ1 ,那么-2ｘ1 =-5.∴　ｘ1 =52 .∵　 -2 +52 =-ｋ2 ,∴　ｋ =-1 .∴　方程的另一个根为52 ,ｋ的值为 -1 .注　这种类型的题也可将根-2代入原方程 ,先求出ｋ的值 ,…     

应用根与系数的关系应注意的问题

一元二次方程的根与系数的关系是一个非常重要的知识点 ,应用十分广泛 .但是 ,应用这个定理时有几个应注意的问题 ,必须引起大家的重视 .第一 ,要注意对判别式的检验课本叙述根与系数的关系时说 :如果ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0 (ａ≠ 0 )的两个根是ｘ1、ｘ2 ,那么ｘ1+ｘ2 =-ｂａ,ｘ1·ｘ2 =ｃａ.请注意“如果……” ,它告诉我们 ,在实数范围内应用根与系数的关系的条件是 :方程必须有两个实根 ,即Δ≥ 0 .有的同学不注意对判别式的检验 ,往往在这里出错 .例 1　方程ｘ2 -(ｍ +1 )ｘ +3ｍ -5=0的两个实数根为α、β ,且α2 +β2 =1 6,求ｍ的值 .错解…     

巧求一元二次方程的公共根

在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共…     

方程综合题

方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析　 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关…     

韦达定理的妙用

韦达定理反映了一元二次方程中根与系数间的关系,是初中代数中一条重要定理。它不仅丰富了初中代数内容,还增加了求解某些问题的方法。若巧妙地运用此定理解决某些问题,可使过程简捷,收到事半功倍之效。现举几例。一、若 x=2-3~(1/2),求 x~4-5x~3+6x~2-5 x 的值.(1986年上海市初中数学竞赛题)若将已知直接代入待求式进行求值,计算很繁琐。但由 x=2-3~(1/2)可知 x_1=2-3~(1/2),x_2=2+3~(1/2)一定是方程 x~2-4x+(?)=0的两根,故巧妙运用     

掌握根与系数关系定理的着眼点

一、理解根与系数关系的本质特征一元二次方程根与系数的关系 ,教材从两个方面进行了研究。一方面从一元二次方程的求根公式出发 ,揭示出两根和及积与系数的关系 ,即 :ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的两个根是 x1、x2 ,则 x1 x2 =- ba,x1· x2 =ca。运用这个关系式可不解方程而从一元二次方程的一般形式求出它的两根之和与两根之积 ;另一方面可由两个数来得到一个以这两个数为根的一元二次方程。1.由已知一元二次方程求它的两根和与两根积。例 1.已知实数 a、b满足 a2 =2 - 2 a,b2 =2 -2 b,且 a≠ b,试确定 a b与 ab的值。分析 :整理 ,得 a2 2 a- 2…     

这个待定值该怎么求?

题:方程8x~2+6kx+2k+1=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦,求k的值。解设直角三角形两锐角为α、β、根据一元二次方程根与系数的关系得: sinα+sinβ=-6k/8 ① sinα·sinβ=(2k+1)/8 ②∵α+β=90°∴sinβ=cosα∴①、②两式可变为:sinα+sinα=-3k/4 ③sinα·cosα=(2k+1)/8 ④③式平方,得 1+2sinαcosα=9k~2/16,     

对一道教材例题解法的商榷

高中代数新教材上册212页例10,(旧上册 P_(170)例3).设tgα、tgβ是一元二次方程 ax~2 bx c=0(b≠0)的两个根,求 ctg(α β)的值.教材解法:在一元二次方程ax~2 bx c=0中a≠0,由一元二次方程根与系数关系,得,tgα tgβ=-b/a,tgαtgβ=c/a而ctg(α β)=1/tg(α β)=1-tgαtgβ[]tgα tgβ由题设b≠0,故tgα tgβ≠0,代入,得,ctg(α β)=1-c/a/-b/a=a-c/-b=c-a/b.这种解法很普遍,教材这样解,平时教师学生都这样     

一元二次方程根与系数的关系探微

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠0)有两个实根x1、x2,则x1 x2=-b/a,x1x2=c/a. 注意在实数范围内应用根与系数关系的前提条件是a≠0且△≥0.它的应用主要体现在不解方程或无法解方程的情况下,直接沟通方程系数与根之间的关系.现举例如下: 一、由根的性质求方程中未知数的值例1 已知关于x的方程2x2-mx-2m 1=0的两实根的平方和等于29/4,求m的值. 解:设方程的两实根为x1、x2则得x1 x2=m/2,     

巧用根的定义求代数式的值

关于一元二次方程的根的代数式求值问题,有时只用根与系数的关系求解,计算会很繁难,甚至无法解答。而借助方程根的定义,则可迎刃而解。 一、直接应用方程的根的定义,采用整体代入法求值 例1 已知a是方程x~2-3x+1=0的根,试求代数式(a~3-3a~2-2a)/(a~2+1)的值。     

一元二次方程根与系数关系的六种应用形式

一元二次方程报与系数的关系，它是以一元二次方程的求根公式为基础的。即如果ax~2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x_1，x_2，那么利用它解决问题，在初中阶段一般具有下列六种形式。一、恰当选择根与系数关系，求另一根和系数字母值。由一元二次方程根与系数关系可知存在两个等量关系，解题选用那一个，要看题意，尽量使所选等量关系含一个未知量，进而求另一个未知量。例回、①已知方程SX’＋bX－10一0的一个极为一5，求方程另一个根及b的值。分析：选两个根的积求另一根，进而由两根和求b值。。＿、。、＿＿，＿、，＿。，10。。2＿。‘…     

例说根与系数关系的应用

如果一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,这就是根与系数的关系,简称为韦达定理.根与系数的关系应用很广泛,下面举例说明. 一、求一元二次方程的两根的和与积 例1 (1)(2013年雅安卷)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=-0的两根,则x1+x2的值是(). A.0 B.2 C.-2 D.4 (2)(2013年武汉卷)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是(). A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:(1)对于方程x2-2x=0,a=1,b=-2,.∴.x1+x2=2=--2/1=2.故选B. (2)对于方程x2-2x-3=0,a=1,b=-2,c=-3,∴.x1·x2=c/a=-3/2=-3.故选B.     

充满活力的韦达定理(上)

一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理,是初中数学中一个充满活力的定理,应用极为广泛.本文以1996、1997两年全国各地中考试题为例,介绍它的应用. 一、求一元二次方程根的对称式的值若x_1、x_2是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,应用韦达定理,可不解方程直接求得x_