重视数学设想,提高解题能力

设想是数学上一种很独特的思维方式.探究问题的成败,往往系于分析过程中是否大胆合理的设想.设想是分析过程中不断获得新思路的动力.1从图形“已知”设想例1如图1,用A,B,C表示三个村庄,现要建一座希望小学,让三个村庄都来上学,为使希望小学到三个村庄的距离相等,学校应设在何处?分析设想学校O点已作出,则O点与A,B,C三点的距离相等.即OA=OB=OC.若让OA=OB,则O点必在线段AB的垂直平分线上,若让OB=OC,则点O又在线段BC的垂直平分线上,因此,O点在线段AB,BC垂直平分线的交点处.作法(1)连结AB,BC.(2)分别作AB,BC的垂直平分线,两线…     

让技术成为问题探究的“利器”

正随着信息技术的飞速发展,现在的高中学生都有了智能手机,在使用微信与亲朋好友进行联系与交流,寒假中我也下载了微信软件,和学生们组成了一个朋友圈,而他们讨论的一个问题引起了我的思考.问题如图1,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E为AB边上的动点,连接CE,并沿着CE对折,求点B折后所形成的点P到点A的最小距离?     

初中数学最值种种

1.运用点到直线的距离例1（2009年陕西）如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM＋MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM＋MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM＋MN=BM＋MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM＋MN的最小值为4.     

初中数学最值种种

正1.运用点到直线的距离例1(2009年陕西)如图1,在锐角三角形△ABC中,∠BAC=45°,AB=4槡2,∠BAC的平分线交BC于D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.解延长BM交AC于点H,当BH⊥AC且MN⊥AB时BM+MN最小,此时由题意知∠BAD=∠CAD,AM=AM,∠AHM=∠ANM=90°,所以△AHM≌△ANM,所以MH=MN,BM+MN=BM+MH=BH.又由AB=槡4 2,∠BAC=45°得BH=4,即BM+MN的最小值为4.     

对一类动点路径长度问题的探究——从2019年贵阳市中考数学第15题说起

一、真题再现如图1所示,在矩形ABCD中,AB=4,∠DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点,连结DF.以DF为斜边作∠DFE=30°的Rt△DEF,使点E和点A位于DF两侧.点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是___.这是一道求动点轨迹长问题.这一类问题通常是寻找第二个动点的起点和终点,再由全等或者相似得以解决.那么,动点轨迹长问题的本质是什么?怎样才能让这类问题的解决思路自然生成呢?     

深刻剖析 唤醒思路——一堂《三角形》复习课的教学实录与思考

<正>本节课基于学生学情,围绕一道精选题,引导学生对题目已知条件进行深刻剖析,让学生经历独立思考的过程,从而掌握解决此类问题的方法.一、课堂实录题目如图1,在RtABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点O为BC的中点.如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请猜想△OMN的形状,并证明你的猜想.     

用函数表示几何量问题例析

用函数表示几何量的关系问题是将几何图形与函数式相融合的一类问题.由于它能够考查同学们对几何图形的理解，以及创造性列出函数关系式的能力，因此成为近年来各地中考的重要考点.1.利用几何图形本身所具有的特点，列出函数关系式例1摇如图1，在△ABC中，∠C=90o，P为AB上一点，且点P不与点A重合，PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设PE的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式.解∵AB=10，AC=8，∠C=90o，∴由勾股定理得BC=6.再由三角函数关系得摇sinA=BC/AB=PE/AE=3/5.又摇∵PE=x，…     

勾股定理的应用

勾股定理是初中数学中重要的定理之一,应用十分广泛.学习勾股定理时,一定要正确理解定理的内容,记清定理成立的条件,区别定理与逆定理,只有这样,才能在解题时恰当地运用.1.已知图形中有直角时,可考虑选用勾股定理例1如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=AB CFDEO图1AB PDC图2AB CQP图36,BC=8,将纸片折叠,使得A、C两点重合.求折痕EF的长.解析:连结AC交EF于点O,连结CF.因为A、C两点关于折痕EF对称,所以折痕EF是线段AC的垂直平分线,从而CF=AF.在矩形ABCD中,因为AB=6,BC=8,所以AC=$AB2 BC2=10.所以OA=OC=5.在Rt△CDF中,由勾…     

赏析两道相似的考题

例1 如图1,已知线段AB=6．C,D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为___．     

线段旋转所扫过的图形面积

<正>线段AB和点O在同一平面内,将线段AB绕点O旋转,在旋转过程中,线段AB所扫过的图形面积该如何计算?笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究.一、旋转中心O在线段AB上如图1,设AO=a,BO=b(a≥b),旋转角度为α.     

一个有用的结论

一、结论推导题目　如图 1所示 ,竖直放置的圆环圆心图 1为 O,半径为 R.从圆周最高点 A向圆周上任一点 B引一光滑弦轨道 ,求质点 m从 A点由静止沿光滑弦轨道下滑到 B点的时间是多少 ?解析　设光滑弦轨道 AB的倾角为 θ,则质点 m沿弦AB做初速度为零、加速度为 a=gsinθ的匀加速直线运动 ,其位移 s=ACsinθ=2 Rsinθ,由公式 s=12 at2 ,得t=2 sa=2· 2 Rsinθgsinθ =2 Rg.可见 ,质点沿光滑弦轨道 AB从 A点运动到 B点的时间 t恰为质点沿直径 AC从 A点自由下落到 C点的时间 ,与弦 AB的倾角 θ和质点的质量无关 .结论　物体从竖直圆环…     

中考《视图与投影》重点知识讲与练

考点1灯光与影子(一)考点解读11中心投影:光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线形成的投影称为中心投影.21视点、视线、盲区:眼睛的位置称为视点;由视点发出的线称为视线,看不到的地方称为盲区.(二)考题解密例1(盐城市)如图1,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).分析要求路灯杆AB的高度,由AB⊥BH,CD⊥BH,FG⊥BH,可知AB∥CD∥FG,得△ABE∽△CDE,△ABH∽△FGH,再由已知条件,利用比例式求解.…     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

线段、角

基础篇课时一　直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=(　　)BC=(　　)-(　　)=(　　)-(　　)-(　　).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是(　　)(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点…     

对两道中考试题的赏析

<正>一、依托特定的数学问题考查学生的探究能力例1(2011年河北中考)两平行线AB、CD间的距离为6,点M为AB上一定点.图1思考:如图1,圆心为O的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.当α=度时,点P到CD的距离最小,最小值为.探究一:在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,     

对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

学会分类 正确求解

有些几何题,必须进行合理分类,才能正确求解.现举几例谈谈这类问题的解法.例1已知线段AB=8CM,C点在直线AB上,线段BC=3CM,M、N分别为线段AB和BC的中点,求线段MN的长.分析:由题意知点C可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图1和图2.解:(1)当点C在线段AB的延长线上时,MN=BM NB=     

利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

一道中考题的辨析

<正>一、原题呈现(2017年广安中考25题)如图1,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F;点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D.(1)求证:直线AE是⊙O的切线;(2)若,求BF的长.二、悬疑众人在解题(2)时产生了如下困惑.解法1 ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.Rt△ACB中,∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×4=8,由勾股定理,得连BD,如图2,     

对一个猜想的探究

<正>在一次教研活动中,有人提出了下列猜想:猜想任意梯形皆存在内接菱形(使菱形的四个顶点分别落在梯形的四条边上),且存在无数多个内接菱形.笔者对上述猜想进行了探究,并证明了这一猜想.现给出该猜想的证明过程:如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=a,BC=b,CD=c,DA=d(不妨设a>c,d≥b).若过点D作BC边的平行线DD1,则由a>c知,点D_1必在AB边上.于是,在