逆向思维在解题中的作用

逆向思维是创造性思维的一种,善于逆向思维,是思维灵活的一种表现。正确引导学生逆向思维,会使学生对问题的本质属性掌握得更清楚,可以养成学生对问题双向思维的习惯,达到解决问题得心应手。例１：如图ＡＢ是半圆的直径,ＯＣ⊥ＡＢ于Ｏ,ＭＮ⊥ＡＢ,ＭＤ⊥ＯＣ,圆...     

浅析图乘法

图乘法计算静定结构由于荷载所引起的位移是结构力学中的一个非常重要的内容。它将积分法计算位移简化为两个弯矩图的相乘 ,使计算过程大为简化。但在应用图乘法解题时 ,很多学生会出现这样或那样的问题 ,而且这些问题带有普遍性 ,下面作简单分析 :在计算梁和刚架的位移时 ,其积分公式为△ｉｐ =∑∫ＭｉＭｐＥＩ ｄｘ如果某段梁 (柱 )Ｍｉ图为直线 (如图示ＡＢ段 ) ,我们可以取图示直角坐标系 ,取Ｍｉ图线与轴线交点Ｏ为坐标原点 ,夹角为α则Ｍｉ=Ｘｔｇα故ＡＢ段上积分∫ＢＡＭｉＭｐｄｘ =∫ＢＡＸｔｇα·Ｍｐ·ｄｘ =ｔｇα∫ＢＡＸ·…     

一道竞赛题的多种解法

题目　已知Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在圆Ｏ上 ,ＡＢ =ＢＤ ,ＢＭ垂直于ＡＣ ,垂足为Ｍ .证明 :ＡＭ =ＤＣ +ＣＭ .(第十二届江苏省初中数学竞赛题 )图 1分析　本题图形简单(见图 1) ,仅有一个圆和几条线段 ,若不仔细分析其中的关系 ,不易找出解题思路 .本文将采用证明一条线段等于另两条线段的和的常规方法 ,即截长法和补短法 ,以及由垂径定理得出的对称法和利用平行线的性质来证得结论 .证法一 (截长法 )如图 2 ,截取ＡＥ =ＣＤ ,连结ＢＥ交ＡＭ于Ｆ ,连结ＢＣ、ＡＥ、ＡＢ .∵　∠ＡＣＢ =∠Ｅ =ｍ 12 ＡＢ =12 ＢＤ =12 (ＡＥ +ＢＣ) =ｍ ∠Ｆ…     

以一道高考试题为例谈审题过程中的信息处理

数学解题过程实质上是一个信息的输入、加工、输出过程 .而解题所需要的信息必须依靠解题者通过审题来获得 ,审题就是对题目信息的发现、辨析、转移的过程 .只有通过审题获得尽可能多的信息 ,解题才可能成功 .因此 ,在平时的教学中我们必须重视审题 ,教会学生掌握科学的审题方法 ,养成良好的审题习惯 .下面我们就以 2 0 0 1年全国文科高考第 19题为例 ,谈谈审题过程中的信息处理 .题目　已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ=2 ,ＢＣ =6,ＣＤ=ＤＡ=4 ,求四边形ＡＢＣＤ的面积 .这是一道平面几何计算题 ,由已有的知识显然无法直接计算出…     

一道几何例题的变式训练

原题　如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .(初中《几何》第三册第 14 4页例 4)图 1　　　　　　　　图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外离 ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 ,连心线Ｏ1 Ｏ2 分别交⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于点Ｍ、Ｎ ,ＢＭ、ＣＮ的延长线相交于点Ａ .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明　过点Ｍ、Ｎ分别作⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的切线 ,交ＢＣ于Ｄ、Ｅ ,作ＡＯ⊥Ｏ1 Ｏ2 ,交ＢＣ于Ｏ .则ＭＤ =ＢＤ ,ＮＥ =ＣＥ ,ＭＤ∥ＡＯ∥ＮＥ .∵　 ＢＯＡＯ=ＢＤＭＤ=1,∴　Ａ…     

浅析极坐标系中极径的几何意义在解题中的应用

极坐标系是构建坐标系的一种方法,然而很多学生由于对直角坐标系比较熟悉,看到题目就马上转化成直角坐标系下进行解题,造成有些题目的运算太过繁琐。因此,教会学生恰当选择坐标系进行解题,就变得非常重要。     

初三化学综合训练试题参考答案

初三化学综合训练试题参考答案第一章空气氧一、１．ＣＺ．Ｄ３．Ｃ４．ＤＳ．Ｃ６．Ｂ７．Ａ８．Ｄ９．Ａ１０．Ｂ１１．Ｂ二、１．（ｌ）加水使ＫＣＩ溶解（２）过滤使ＭｎＯ。分离出来烧杯、漏斗、玻棒２·１２。１３．（１）ＫＣＩ可溶，而ＭｎＯ。难溶，采用过滤的方...     

一道高中联赛题的讨论

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题的第一题是 :如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值。对于这一道试题 ,命题组针对图 1 (∠Ｃ为锐角的情形 )给出的参考答案中的解题思路是 ,在ＢＥ上取ＢＫ =ＣＨ(目的显然是将ＭＨ +ＮＨ转化为ＫＨ) ,然后证明Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 (注意到∠ＢＨＣ=∠ＢＯＣ =1 2 0° ,这很容易证明 ) ,从而推出∠ＯＢＨ =∠ＯＣＨ ,再证明△ＢＯＫ≌△ＣＯＨ(两边夹一角分别相等 ) ,从而推…     

一道习题推出的高考题与引伸

许多资料上都有这样一习题 :命题 1　Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题　设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ　 ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解　由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 　 (ｘ≠ 0 ) .　　如果我们把命题 1中…     

一道考查综合能力的压轴题

题目　已知 :在Ｒｔ△ＡＯＢ中 ,∠ＡＯＢ =90°,ＯＡ =3厘米 ,ＯＢ =4厘米 .以Ｏ为坐标原点建立如图 1所示的平面直角坐标系 .设Ｐ、Ｑ分别为ＡＢ边、ＯＢ边上的动点 ,它们同时分别从点Ａ、Ｏ向点Ｂ匀速移动 ,移动的速度都为1厘米 /秒 .设Ｐ、Ｑ移动的时间为ｔ秒 ( 0≤ｔ≤4) .图 1( 1 )过点Ｐ作ＰＭ⊥ＯＡ于Ｍ .证明 :ＡＭＡＯ=ＰＭＢＯ =ＡＰＡＢ,并求出Ｐ点的坐标 (用ｔ表示 ) .( 2 )求△ＯＰＱ的面积Ｓ(厘米2 )与移动时间ｔ(秒 )之间的函数关系式 ;当ｔ为何值时 ,Ｓ有最大值 ?并求出Ｓ的最大值 .( 3 )当ｔ为何值时 ,△ＯＰＱ为直角三角…     

立体几何中的最值问题

立体几何的最值问题是立体几何的一大难点 ,学生在解决这类问题时 ,总存在着一定的心理和思维方面的障碍 .因此 ,解决好立体几何的最值问题 ,不仅可以提高学生分析问题和解决问题的能力 ,而且可以提高学生的数学应用能力和数学综合能力 .本文想就立体几何最值问题的几个类型和解题策略 ,通过具体实例加以归纳 ,以供参考 .1　与线段长有关的最值问题例 1　已知正方形ＡＢＣＤ与正方形ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,ＡＢ =ａ ,Ｍ为对角线ＡＣ上一点 ,Ｎ为对角线ＦＢ上一点 ,且ＡＭ =ＦＮ =ｘ ,求ｘ为何值时ＭＮ取得最小值 ?分析　此题的关键是建…     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

巧用切线长定理解题

切线长定理告诉我们 ,从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 .对于题设中已知或隐含着圆的两条相交切线的求值或证明问题 ,巧用切线长相等这一性质 ,可使解题简捷 .例 1　如图 1 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,直角边ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,⊙Ｏ内切于Ｒｔ△ＡＢＣ ,则⊙Ｏ的半径ｒ=.( 2 0 0 0年广东省广州市中考题 )解　设⊙Ｏ与Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别切于Ｄ、Ｅ、Ｆ ,连结ＯＤ、ＯＥ、ＯＦ ,则四边形ＯＥＣＦ是正方形 .∴　ＣＥ =ＣＦ =ｒ.∴　ＡＥ =ＡＣ -ｒ,ＢＦ =ＢＣ -ｒ.∵　ＡＣ =4 ,ＢＣ =3,∴　ＡＢ =ＡＣ2 +ＢＣ2 =5 .∵　ＡＤ与ＡＥ、…     

小议“奇思妙解”

在数学解题中 ,常常谈到“奇思妙解” .这里实际上隐含着一个因果关系 ,“奇思”是条件 ,“妙解”是奇思的结果 .奇思 ,不是猎奇 ,也不是异想天开 ,而是由此及彼的一种联想 ,是换一个角度去观察、思考、分析问题 ,是一个化归与转化的思维过程 ,正如前苏联著名数学家Ｃ·Ａ·雅可夫斯娅所说 :“解题就是把习题归结为已经解过的问题 .”请先看下面的例子 .例 1　已知点Ａ( 3,0 ) ,Ｐ是圆ｘ2 ｙ2 =1上任意一点 ,∠ＡＯＰ的平分线交ＰＡ于Ｍ(Ｏ为原点 ) ,试求点Ｍ的轨迹 .奇思　Ｓ△ＡＯＰ =Ｓ△ＡＯＭ Ｓ△ＭＯＰ.妙解　设Ｍ (ｘ ,ｙ)　 (ｘ>…     

数学奥林匹克问题

本期问题　　初 119.在△ＡＢＣ中 ,Ｍ、Ｎ两点都在ＡＢ上 (不含两端点 ) ,满足∠ＭＣＮ =30°.已知Ｓ△ＡＢＣ =2 0 0 ,Ｓ△ＣＭＮ=ｆ .当ｆ是一个整数时 ,求ｆ的所有可能的值 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 12 0 .在平面直角坐标系ｘｏｙ中 ,⊙Ａ的方程为 (ｘ -2 ) 2 +(ｙ -2 ) 2 =1,两个半径都是ｒ且互相外切的⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 均与⊙Ａ相外切 ,又⊙Ｏ1、⊙Ｏ2 分别与ｘ轴、ｙ轴相切 .求ｒ .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,5 10 40 5 )高 119.证明 :在正整数数列中 ,删除所有完全平方数后剩下的数列的第ｎ项上的数是ｎ +{…     

初二几何期末测试题参考答案

一、1 　 2 　 3 　 4 　 5 二、1 9　 2 4ｃｍ2 ,16ｃｍ2 ,3.125ｃｍ　 4 12　 5 1　 6 1∶9　 7 32 　 8 6ｃｍ ,33ｃｍ ,183ｃｍ2三、1 Ｂ　 2 Ｂ　 3 Ｃ　 4 Ａ　 5 Ａ　 6 Ｂ四、1 4 0ｃｍ2 △ＤＡＣ∽△ＡＢＣ ＡＣＢＣ=ＣＤＡＣ ＡＣ2 =ＢＣ·ＣＤ ＡＣ2 =ＣＤ(ＣＤ ＢＤ) =ＣＤ2 ＣＤ·ＢＤＢＤ =ＡＤ ＡＣ2 =ＣＤ2 ＣＤ·ＡＤ ＡＣ2 -ＣＤ2 =ＣＤ·ＡＤ3 略　 4 过Ｂ作ＤＯ的平行线与ＡＯ的延长线交于Ｍ 5 ＥＦ =3　 6 ＭＫ∥ＡＣＭＬ∥ＢＣ ＲＰＰＭ=ＢＰＰＬ=ＢＭＭＡ=ＲＱＱＡ ＰＱ∥ＡＢ。初二几何期…     

圆的有关性质中考题精选

一、填空题1 如图 1,Ｃ是⊙Ｏ上一点 ,ＡＢ为 10 0° ,则∠ＡＯＢ =度 ,∠ＡＣＢ =度 .(2 0 0 1年江苏省镇江市中考题 )2 已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ ,∠ＡＯＢ =13 0° ,则∠Ｃ的度数为 . (2 0 0 1年江苏省南通市中考题 )3 如图 2 ,在半径为 1ｃｍ的圆中 ,弦ＭＮ垂直平分弦ＡＢ ,则ＭＮ =ｃｍ . (2 0 0 1年江西省中考题 )4 Ｄ是半径为 5ｃｍ的⊙Ｏ内的一点 ,且ＯＤ =3ｃｍ ,则在过点Ｄ的所有弦中 ,最小的弦ＡＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年广东省广州市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 5 如图 3 ,Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙Ｏ上的点 ,ＯＡ∥ＢＣ ,如果∠Ｂ =2 0°…     

2002年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法

题目　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ ＮＨＯＨ 的值 .由ＢＭ =ＣＮ及线段的差分关系 ,得ＭＨ ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ .因此 ,本题等价于在已知条件下 ,求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面给出几种解法 ,供参考 .解法 1 .如图 2 ,在ＡＢ上截取ＡＤ =ＡＣ ,则△ＡＤＣ为等边三角形 .从而∠ＢＤＣ =1 2 0°.∵Ａ、Ｆ、Ｈ、Ｅ四点共圆 .∴∠ＢＨＣ =1 80° -∠Ａ =1 2 0°由外心张角公式 ,得∠ＢＯＣ=2∠Ａ =1 2 0°∴∠ＢＤＣ =∠…     

一道自编题组的教学尝试

在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例　如图 1 ,Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｏ在ＡＢ上 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＣ相切于点Ｄ ,交ＡＢ于Ｅ .1 .求证 :ＤＥ∥ＯＣ .2 .求证 :ＣＢＢＯ=ＡＤＡＥ.3.若ＡＥ =1 ,ｃｏｓＡ =45 ,求⊙Ｏ的面积 .4.若ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,(1 )求⊙Ｏ的直径、ＣＢ长及ｓｉｎ ∠ＡＣＢ2 的值 ;(2 )求证 :Ｓ△ＡＣ…     

例析解题的切入点

有些学生虽做了很多习题,但题目稍作变化就不知所措,缺乏应变能力．我认为症结在于：忽视了解题总结这个环节．其实解题总结不仅能让我们深入地领悟解题的思想方法,更重要的是能从中获取解题的切入点．笔者结合平时的教学所得,就寻找解题的切入点,谈点体会,以期抛砖引玉．一、以条件为解题切入点以题意中的某个条件为线索,展开联想,发掘内在联系,探求解题途径．图１ＢＡＥＭＦＤＣ例１　如图１,已知△ＡＢＣ,Ｄ是ＢＣ的中点,Ｅ是ＣＡ延长线上的一点,且ＡＥ＝１２ＡＣ,求证：ＤＦ＝ＥＦ．分析１：由条件“Ｄ是ＢＣ的中点”联想…