巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

用判别式法求分式函数值域

用判别式法求二次分式函数的值域实质上是利用方程思想、等价转化思想将二次分式函数变形为关于自变量的一元二次方程，然后借助方程的判别式求值域．根据函数的定义域的不同，一般可分为三种类型。     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]     

用判别式求分式函数值域

本文就分母为二次三项式，分子为常数、一次式、二次式的分式函数，谈如何运用判别式求其值域的方法。     

一类分式函数值域的求法

求形如 ｙ =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2(ａ1与ａ2 ,ａ1与 ｂ1,ａ2 与ｂ2 均不同时为零 )的分式函数的值域 ,最常用的方法是“判别式”法 ,但当自变量ｘ仅在定义域内的某个子区间上取值时 ,判别式法就不再能用 ,而若转化为一元二次程实根的分布问题 ,如求函数 ｙ=ｓｉｎ2 ｘ - 3ｓｉｎｘ 4ｓｉｎ2 ｘ 3ｓｉｎｘ 4的值域 .若设ｓｉｎｘ =ｔ,则转化为求函数 ｙ=ｔ2 - 3ｔ 4ｔ2 3ｔ 4(- 1≤ｔ≤ 1)的值域 ,由文 [1]知判别式法不能用 .文 [1]是将问题转化为关于ｔ的一元二次方程 (ｙ- 1)ｔ2 3(ｙ 1)ｔ 4(ｙ -1) =0在区间…     

求二次分式函数值域时需注意的几个问题

我们在求形如y=ax^2 bx c/dx^2 ex f(a、d不全为零)的分式函数的值域时，常用判别式法来解。即先整理成关于x的一元二次方程，然后让方程有解即其判别式不小于零，转化为关于y的不等式来求解。但用此法时，需注意以下几个问题：     

逆用函数单调性证明不等式

在本刊文[1]中,讨论了逆用函数单调性求变量取值范围问题.本文从另一角度讨论逆用单调性来证明不等式.     

数形结合法在解一元二次不等式、一元高次不等式和分式不等式中的用应

举例说明数形结合法在解一元二次不等式、一元高次不等式和分式不等式中的应用．     

构造对偶函数求一类无理函数的值域

文[1]对型如:y＝mg(x) nf(x),其中g(x) f(x)＝c(常数),mn>0的函数求最值,其构思有独到之处,值得借鉴.本文利用构造对偶函数式的方法对其中的例题作解答,更易被学生所接受.     

利用“均值不等式”求值域

a>0,b>0,(a+b)/2≥2(ab)~(1/2)是一个重要的基本不等式,可以求函数的值域.在应用时,务必注意其条件:一是a,b都是正数;二是定值条件,即和为定值或积是定值;三是相等条件,即a=b时取等号.当条件不具备时,需要进行适当的转化,现举例说明.     

数形结合法在解一元二次不等式、一元高次不等式和分式不等式中的用应

举例说明数形结合法在解一元二次不等式、一元高次不等式和分式不等式中的应用.     

有关数列单调性的几个典型问题

我们知道，数列是特殊的函数，所以解决数列问题常常可用函数思想。但是，数列既然是特殊的函数，因此在解题时又往往有别于一般的函数方法。本文通过几个同学们在解题时经常出错的例题，谈谈函数与数列的单调性解题的区别，旨在引起同学们的注意，提高免疫能力。     

二次分式函数值域的求法

本文拟介绍形如f(x)=(a1x^2 b1x c1)/(a2x^2 b2x c2) (a1^2 a2^2≠0)二次分式函数值域的求法。     

运用函数单调性解题举隅

单调性是函数的重要性质之一,是数学解题的有力工具.解题教学中如果能充分发掘有关问题的隐含条件,把问题化归到单调函数模型上去,巧妙运用单调性,常能给人一种简洁明快、耳目一新的感觉.本文分类举例说明之.     

运用函数单调性解题举隅

单调性是函数的重要性质之一,是数学解题的有力工具.解题教学中如果能充分发掘有关问题的隐含条件,把问题化归到单调函数模型上去,巧妙运用单调性,常能给人一种简单明快、耳目一新的感觉.本文分类举例说明之.     

抽象函数单调性的证明及应用

函数是中学数学的重点内容，函数的单调性是函数的重要性质，是解决数学问题的重要工具．用定义证明函数单调性是高中数学的基本方法，也是高考常考的基本技能．而抽象函数单调性的证明更是需要通过特值代入，整体变形，巧妙配凑等途径，使问题得以求解．本文就常见的几种抽象函数加以说明．     

复合函数的单调性问题

本给出一个复合函数的单调性的判定定理，有助于判定复合函数的单调性，亦适用于多重复合函数．     

构造函数，利用其单调性解题

在求解某些数学题时，如果我们根据题目的结构特征，构造出一个适当的函数，然后利用其单调性，往往能化难为易，化繁为简．     

例说运用均值不等式求最值

众所周知，运用均值不等式求最值时，应注意满足“一正二定三相等”的条件，那么遇到具体的问题，究竟应怎样操作，本文分类例说其方法与技巧，供同学们参考。     

函数单调性的一些应用

1．恒成立问题的求参 例1已知函数，f（x）=a＋2x-x^2/x，x∈[1，＋∞），若对任意x∈[1，＋∞），f（x）〈0恒成立，试求a的取值范围．