Banach空间上的哥西积分定理

设C是一条围线，D为C之内部，f(z）在D内解析，在D=D C上连续，则，∫cf（z）dz=O这是众所周知的普通复变函数论[1]中的哥西积分定理，它对于复变函数本身和实际应用都十分重要，故有复分析的基本定理之称。这一重要的定理能否推广到Barach空间呢?本文给出此问题的一个回答，文中假定D是复平面C上一个区域，X是一个Banach空间，X（z)是定义于D上并取值于Banaeh空间X的映射。     

巧用三角形分角线长定理解竞赛题

本文介绍三角形的分角线长的一个公式,然后举例说明它在数学竞赛解题中广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边c上任一点,CD分     

四点共圆的应用

四点共圆的判定（如图,证明从略）：定理1对角互补的四边形内接于圆．即180°,则A、B、C、D共圆．定理2外角等于内对角的四边形内接于圆．即,则A、B、C、D共圆．定理3同底同侧张等角四点共圆．即,且都在△ABC和△ABD的公共边AB的同侧,则A、B、C、D共圆．定理4割线定理逆定理．即PA·PB=PD·PC,则A、B、C、D共圆．定理5相交弦定理逆定理．即MA·MC=MB·MD,则A、B、C、D共圆．四点共圆在几何证题中可以起到杠杆与桥梁的作用,它的应用可以扩展到各类题型．1．证两线段相等例1已知,在bABC中,／BAC一90”,AD上B…     

关于Carathéodory不等式的注记

最大模定理是正则函数的一个重要性质,它叙述如下:设函数f(z)在闭围线C的内部为正则,并连续到C上,如果|f(z)|在C的上界为M,则不等式|f(z)|≤M对C内的任一Z都成立。又若对C内某一点Z,有|f(z)|=M,则f(z)恒为常数。 这定理给出了区域D内的正则函数,若它连续到D的边界C时,则f(z)在D内的模可以由它在边界上模的最大值M所控制。     

一道培训题的背景（高一）

第13届“希望杯”高一培训题第84题为: 有两幅同一地区的,比例尺不同的长方形地图.将其中较小的一幅随意地平放在另一幅地图内.证明这两幅地图中一定有一个相同的地点是在某一个重合的点上(即:上下平贴的两张图中必有一个点是两幅地图中的同一个位置). 参考解答上只给了用相似三角形的方法寻找这个重合点,很多同学看完解答都问同一个问题:为什么?这道很难的题的命题背景很深,它牵涉到数学分析中的闭矩形域套定理.设大地图为矩形ABCD,小地图为矩形A1B1C1D1相似比为     

关于复变函数的围线积分

复变函数的围线积分是研究解析函数不可缺少的一个重要工具,所以它是复变函数论中的一个重要内容。它的理论是以柯西积分定理、柯西积分公式以及柯西残数定理为中心,计算也是以它们为依据。本文着重讨论围线积分计算的各种情形,并加以系统化予以分类。定义我们称分段光滑的Jordan闭曲线为围线。Ⅰ、最简单情形.假设函数f(z)在围线L的内部区域D内解析,在闭区域D=D+L上连续,则由推广的柯西积分定理即知     

从一个定理的运用谈起

初中数学课本《几何》第一册第58页有定理:“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。”在一次考试中,许多学生运用它来证明下面的命题,其过程如下:已知:如图1,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,DE∥BA,DF∥CA。求证:∠FDE=∠A。     

几个常用结论应用的简捷方式

众所周知，数学中许多的公式、结论有着密切的联系，如果能把这些结论归纳、整理，则在教学中效果是很显著的．通过多年的教学实践，我把一些相关的结论进行了归纳整理，现总结如下，供大家参考．1关于复变目数在简单封闭曲线上的积分复变函数在简单闭曲线上的积分，结论繁多．我用一个简单定理把文［1」中常用结论归纳如下：定理1投入Z）在区域D内处处解析对为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于D，Z。为C内任一点，则有定理1的证明见文［l」．当。—一旦，－2，－3，…时，定理1为柯西定理；。一0时，定理工为柯西积分公式；。…     

联想与解题

我们拿到一个数学题后,一般都是结合审题,联想有关的定义和公理,联想定理,公式和法则去寻求解题的方法。例1 如图:求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°分析:这是一个图形性质的证明题。要证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,可以联想表示180°的图形只有平角和三角形的内角和。再看已知条件,显然利用平角困难,只有考虑三角形的内角和,那么就要有一个角代替两个角和的问题,很自然地联想到三角形的外角定理,由此问题得证。     

含30°角的直角三角形

初二几何课本第77页上介绍的等腰三角形判定定理的推论,其实是含3O°角的直角三角形的性质定理,即在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．对于某些与直角三角形有关的几何证明题,灵活应用这个定理,可简化推理过程,获得迅捷的证法．图1图2例2如图2,△ABC中,／C＝90°,B＝30°,ED是AB的垂直平分线,交BC于E,交AB于D．求证：EC＝ED．分析连结AE．要证EC＝ED,只要证RichACE。RtAiADE．在这两个三角形中,因AE＝AE,那么只要证AC＝AI）．练习题凸ABC中,土ACB＝gr,CD是高,…     

二元函数中值定理

<正> 华东师范大学教学系编《教学分析》中有关二元函数中值定理,其反例如下: 例函数f(x,y)=1-x-y~(1/2)在闭凸区域D={(x,y)|x+y≤1}上连续,在D的所有内点都可微,这就是说f(x,y)=1-x-y~(1/2)在闭凸区域D上满足“定理”的条件,     

漫谈几何定理的学习

几何定理是几何知识的核心内容，它是几何中推理、论证、计算和作图的理论根据．因此，在几何学习中，学好几何定理具有十分重要的意义，我们必须下苦功学好．那么，怎样学习几何定理呢？一、学会分清定理的条件和结论任何几间命题都由两部分组成：一是条件．二是结论．若几何命题是以“血J果……．那么……．”的形式表述的．则以‘勺D果”开头的部分是条件，以“那么”开头的部分是结论．如等腰三角形的判定定理：如果一个二角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．它的条件是：一个三角形有两个角相等；它的结论是：这两个角所…     

斯图瓦尔特(Stewart)定理及其应用

1斯图瓦尔特定理斯图瓦尔特市是18世纪英国数学家.1746年,他在《一般定理》一书中证明了如下定理:已知△ABC,D是BC边上任意一点,AB~2·DC+AC~2·BD-AD~2·BC=BC·BD·DC(如图1).这个定理就称为斯图瓦尔特定理.它可以用于计算三角形某些线段的长度,如中线、垂线、角分线等.但是,尤其在证明与三角形有关线段的乘积或比例等问题中有很广泛的应用.在平面几何复习过程     

对高中数学第二册中一个定理与一个例题的证明的意见

在全日制十年制高中课本数学第二册的第10、11页中,有一个定理与一个例题的证明过程似有不妥之处,现提出来与课本编者商榷,并请读者指正。为便于叙述,先将课本中的原文(包括原图)照抄如下: 定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。已知:如图5—14,∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′,AC∥A′C′,并且方向相同。求证:∠BAC=∠B′A′C′。证明:在AB、A′B′、AC、A′C′上分别取AD=A′D′、AE=A′E′,连结AA′、DD′、     

有关三角形问题的方程解法

与三角形有关的一些计算问题是学习“三角形”知识的重要组成部分,解决这类问题的方法虽因题而异,但适合利用列方程(组)来求解的有不少,现从以下几个方面举例说明:一、求角的度数D=A例C1,AD已=知B△DA,B求C∠中B A,ACB的=度A数C,.D是BC上的点,且C图1分析此题中一个角的度数都不知道,又要求出某个角的度数,因此要利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质,转化出某一角的关系式.为便于列式,将某个角的度数设为未知数.解设∠B=x,则由AD=BD得∠BAD=∠B=x,同理可得∠C=x,∠CAD=∠CDA=2x,∴2x+2x+x=180°,∴x=36°,∴∠BAC=2x+x=1…     

判定三角形形状的一个方法

已知一个三角形的某些条件,要判定它是锐角三角形,还是钝角三角形,常常是求出它的角或确定它的最大角的余弦函数值的符号,其判定方法还可以简便一些。由余弦定理容易得到定理设△ABC的三边a≥b≥c,则     

Dolfi定理C的π-形式

文章运用IsaacsIπ-特征标理论中的结果,得到了Dolfi定理C的π-形式,它不仅包含了Dolfi定理C及其Brauer形式,还涉及到一个本原的Iπ-特征标何时在一个给定子群上的限制不可约。     

巧用三角形分角线长公式解题

本文介绍三角形分角线长的一个公式,并举例说明它在数学竞赛解题中的广泛应用。目的在于启发学生的解题思路,培养其创造性思维能力。定理△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c,D是边C上任一点,CD分∠C为α、β,则 CD=absin(α β)/asinα bsinβ证明;如图, ∵ S_(△BCD) S_(△ACD)=S_(△ABC), ∴ 1/2a·CDsinα 1/2b·CDsinβ =1/2absin(α β),     

紧集上单调函数序列的收敛性

Dini定理是数学分析中的一个重要定理,然而它要求函数序列中每一个函数都连续,这在很大程度上限制了它的使用范围,全文主要讨论紧集上多元函数序列的一致收敛性问题,利用函数的单调性来代替其连续性,得到了类似于Dini定理的结论,从而拓广了Dini定理的应用范围。     

一个三角形问题的多种解法

对于给定条件的解三角形的有关问题,一般可运用正弦定理、余弦定理,把它统一为边或角的关系,即：（1）＂化角为边＂,通过代数恒等变形进行转化,得出边的相应关系式,从而得出结论;（2）＂化边为角＂,通过三角函数式的恒等变形及利用A＋B＋C=π等条件,得到内角的关系,从而得出结论.下面是在教学中对一个三角形问题的一题多解,供大家研讨.例已知△ABC的3个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且a2=b（b＋c）,求证：A=2B.