一个含参不等式问题错解剖析

问题:已知不等式1-x2≥x t的解集是,求实数t的取值范围.错解:1-x2≥x t的解集是等价于1-x21-x1-x有解,由1-x2≥0,得-1≤x≤1,设x=cosθQ∈[0,π],则t>sinθ-cosθ=2sin(θ-4π).因为θ∈[0,π],所以(θ-4π)∈[-4π,34π],2sin(θ-4π)∈[-1,2]·所以t>-1为所求·     

“放缩法”证明不等式

一、利用基本不等式或不等式的性质放缩例1 若g(x)=f(x) 1,f(x)=log2~(1/2)(x 1),m、n、t>0且n2=mt,求证:g(m) g(t)≥2g(n).     

关于一元一次不等式组解集的确定

一元一次不等式组的解集是指一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，除教材中通过数轴，直观地表示出解集的公共部分外，还可用四句口快来揭示一元一次不等式组解集的确定规律，即：“同大于取大的，同小于取小的，两界之间要连写，两界之外是空集．”一、同大于型设a＜b，不等式组例1解不等式组解由不等式（1）得x≥1；由不等式（2）得x≥3．所以原不等式组的解集为x≥3．二、同小于型设a＜b，则不等式解由（1）得x≤－1；由（2）得x≤－3；由（3）得x＜0．所以原不等式组的解集为x≤－3．三、在大小两级之间型设。a＜b，则不等式组…     

2002年普高统招(北京卷)数学(理)解答题解答参考

三、解答题(17)解:原不等式甘f、/兰兰一。<2 t、/h一1叫>一2’(~％/2x-101 0 r2z一≥ t2x一1<(z 2)‘铮￡毛札哇①②·.‘②{:一2≥。.,:=争1f。2:x一-61;~> 50<。=争 b一1>(z一2)。。∽一眦帕相似文献   

一个带参数的分式不等式的推广及其应用

文[1]建立了一个新颖的带参数的分式不等式: 设a,b,c,x,y,x∈R ,若t＞1,则有 xa2/tx y z yb2/ty x z zc2/tz x y≤1/t-1((a2 b2 c2)-(a b c)2/t 2)…(1)     

例谈一元一次不等式组的解法

解一元一次不等式组时,应首先求出这个不等式组中每个不等式的解集,然后利用数轴求出这些不等式解集的公共部分,即求出了这个一元一次不等式组的解集.“同大取大,同小取小,大小交叉中间找,大小分离无处找(空集)”,这四句话概括了求一元一次不等式组解集的四种情况.例1 解不等式组 3(1－x)< 2(x＋9),1 ＋1≥5－,2 2x－7≤4x＋7.3 解：由1得：x >－3.由2得：x ≥.由3得：x ≥－7.∴该不等式组的解集为：x ≥.当不等式组里几个不等式的解集都是大于号时,该不等式组的解集取其中最大的数,即“同大取大”. ＋1>x＋, 1     

求函数最值的十种构造方法

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献   

一个猜想不等式的证明

本文用多元函数微分法证明了不等式∑x/x ty z/2≤3/t 3/2(0≤t≤9／8）并给出了（1）的几个等价不等式。     

数学竞赛单元训练题(高中) 不等式的解法

一、选择题1 若关于x的不等式 |x -1 | |x -2 |≤a2 a 1 (a∈R)的解集是空集 ,则a的取值范围是 (　　 ) .A ( 0 ,1 )　　　　B ( -1 ,0 )C ( 1 ,2 )　　　　D ( -∞ ,-1 )2 设命题 p :关于x的不等式a1x2 b1x c1>0与a2 x2 b2 x c2 >0的解集相同 ;命题 q :a1a2=b1b2=c1c2.则 p是 q的 (　　 ) .A 充分不必要条件　B 必要不充分条件C 充要条件　　　　D 既不充分也不必要条件3 不等式1 -x21 x2 -x1 x2 >0的解集是 (　　 ) .A ( -∞ ,0 )　　　　　　B ( -1 ,12 )C ( -∞ ,33 )　D ( 12 ,33 )4 已知 f[lg( 1 tan2 x) ]=cos 2x ,…     

一个带参数的分式不等式及其应用

定理设xi>0,(i=1,2,…,n),若k≥1,则x1/kx1 x2 x3 … xn x2/x1 kx2 x3 … xn … xn/x1 x2 x3 … kxn≤n/n k-1.(1)若k<1,则不等式(1)不等号反向.证明因为不等式左端是关于x1,x2,…,xn的一次齐次对称式,故可设x1 x2 x3 … xn=1,则不等式(1)可以分为     

2008年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题

第Ⅰ卷(选择题共20分)一、选择题(每小题2分,共20分)1.-8的倒数是().(A)8(B)-8(C)81(D)-812.计算a2+3a2的结果是().(A)3a2(B)4a2(C)3a4(D)4a4图13.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图1所示.则这个不等式组可能是().(A)x>4,x≤-1(B)x<4,x≥-1(C)x>4,x>-1(D)xx≤>4     

函数的定义域

函数不仅是高中数学的核心,而且是学习高等数学的基础.函数的定义域则是研究函数的基础,是考核数学素质的主要阵地.例1函数f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(1-3x)的定义域.解:f(2x-1)的定义域是[0,1],即0≤x≤1.于是-1≤2x-1≤1,所以函数f(t)的定义域是[-1,1].令-1≤1-3x≤1,得0≤x≤23.即f(1-3x)的定义域是[0,23].点评:函数f(2x-1)的定义域是指x的取值范围,而非(2x-1)的值域.例2(2004年上海高考题)记函数f(x)=2-x 3x 1的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)],(a<1)的定义域为B.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若B A,求实数a的取值范围.解:(Ⅰ)由2-x 3x 1≥0 x-1x 1…     

换元法解第十七届“希望杯”试题

题1 不等式对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为_____． (高二1试) 解法1 依题意可令 x=t2y(t∈R ), 则不等式对于一切正数 x,y恒成立,等价于不等式对任意正实数t都成立．     

一个代数不等式的推广及逆向

(2) 式中左边不等式得证。下证(2)式中右边不等式根据待证不等式关于x,y的对称性,不妨设0≤y≤x≤a,则a-y≥a-x≥0。     

一道流行题的错解分析

问题不等式21≤ax2x+23+x1+b≤121对一切x∈R恒成立,求a、b的值.这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:设y=f(x)=ax2+3x+bx2+1,则21≤y≤121,即函数y=f(x)的值域是[21,121].将y=f(x)变形整理得:(y-a)x2-3x+(y-b)=0,由于原不等式对任意x∈R恒成立,则这个关于x的方程必有实根,Δ≥0,即9-4(y-a)(y-b)≥0,亦即4y2-4(a+b)y+(4ab-9)≤0(※),这个不等式的解为:12≤y≤121,则y1=21,y2=121是方程(※)的两个根,则由韦达定理,得a+b=64ab-94=141ba==15,或ba==15.,这个解法是错误的,举一个反例:取a=b=3,则y=f(x)=3x2x+23+x1+3=3+3…     

一类无理不等式的三角解法

三角代换在代数中有广泛应用,本文举例说明它在解一类无理不等式中的应用。 [例1] 解不等式(2x+5)/~(1/2)>x+1(85高考题) 解:由2x+5≥0得x≥-5/2,当-5/2≤x≤0时,设x=-5/2sin~2θ,θ∈(0,π/2),不等式化为5cos~2θ-2(5~(1/2)cosθ-3<0。此不等式对θ∈[0,π/2]恒成立,∴-5/2≤x≤0是不等式的解。当x>0时,设x=5/2tg~2θ,θ∈(0,π/2),则不等式化为5sec~2θ-2(5~(1/2))secθ-3<0,解得1相似文献   

不等式中的恒成立问题

1.以一次函数为背景例1设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x~2,若对任意的x∈[t,t+ 2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( )     

不可忽视的“空集”

空集是不含任何元素的集合,并且规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.在子集的综合问题中,空集这个特殊的集合不可忽视.下面举例说明:例1设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A}.若C(?)B,求实数a的取值范围.分析:因C={z|z=x2,x∈A},这就出现了是(-2)2大或是a2大的     

恒成立型不等式中参数范围的几种求法

1　利用二次函数法例 1　设对所有实数 x,不等式x2 log3a9(a 1 ) 2 xlog3a 13 a log39a2(a 1 ) 2 <0恒成立 ,求实数 a的取值范围 .解 :设 t=log3aa 1 ,则原不等式化为 ,对x∈ R,x2 (t-2 ) -2 x(t 1 ) 2 (t 1 ) <0有 t-2 <0 ,Δ =4(t 1 ) 2 -8(t 1 ) (t-2 ) <0     

能力小题训练6——不等式

一、选择题(每小题5分,共60分)1.不等式|x-2|≥|x|的解集是().A.{x|x≤1}B.{x|x≥1}C.{x|x≤0或x≥2}D.{x|0≤x≤2}2.设a,b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件3.不等式axx-1>a的解集为M,且2M,则实数a的取值范