图w_(4k,n)及其r-冠的优美性

马克杰等在文(1)中证明了p1∨p2及其r-冠是优美的.从而猜想:任意优美图的r-冠都是优美的.在此猜想指引下,本文证明了:当m≡0(mod 4)时,wm,n为优美图的充要条件是n≡0或3(mod 4).在此之后又证明了:w当m≡0(mod 4)的r-冠也是优美图.     

图ω4k,n及其r-冠的优美性

马克杰等在文(1)中证明了p1∨p2及其r-冠是优美的.从而猜想:任意优美图的r-冠都是优美的.在此猜想指引下,本文证明了:当m≡0(mod4)时,ωm,n为优美图的充要条件是n≡0或3(mod 4).在此之后又证明了:ωm,n当m≡0(mod 4)的r-冠也是优美图.     

关于优美图Cn和Cn⊙K1的r—冠的优美性

在图Cn（当n≡0,3（mod4)和图Cn是优美图的基础上,证明了图Cn的r－冠（n≡0,3（mod4)）和图Cn⊙K1的r－冠的优美的。     

一个整除性问题

设p是奇素数，r=（p-1）／2．又设ai（i=1，2，…，n）是与p互素的整数，b=（a1＇-a2’）（a2＇-a3＇）…（an＇-a1＇）．证明了：当n是奇数时，必有b=1（mod p）；当n是偶数时，存在ai（u=1，2，…，n）可使b≠0（mod p）．     

图F_(n,4)与龙图D_n(m)的奇优美性

给出了图Fn,4和龙图Dn(m)的定义,并用构造的方法给出了Fn,4与Dn(m)(当m≡0(mod 2)且n≡0(mod 4))的奇优美标号,从而证明了Fn,4与Dn(m)(当m≡0(mod 2)且n≡0(mod 4))都是奇优美图.     

λKm,n的Ck—因子分解

本给出多重完全二部图λKm,n存在Ck-因子分解的充分必要条件：（1）k=0(mod2),k≥4;(2)2m=2n≡(modk);(3)λm=λn≡0(mod2)，其中当λ=1时m=n=k=6例外。     

齿轮图(w～n)和l(w～n)的k-优美性

我们知道轮Wn及齿轮图wn都是优美图．马克杰等在文[1]中已证明了轮wn和齿轮wn都是优美图．本文将证明wn是k-优美图，并证明了当，n=0(mod2)时lwn也是七一优美图．     

完备二分图的冠的k-优美性

图的优美性是图的一个重要性质,有广泛的应用.马克杰猜想:完备二分图Km,n的冠I(Km,n)是k-优美图,这里m,n,k是任意正整数且m n.对于m=2,3,4,5或k>(m-1)n的情形,利用构造的方法,证明了猜想的正确性.这一结果丰富了优美图理论.     

圈和圈并图的算术标号

证明了图（Cn（n≡0（mod4）以及图Cn∪Cn（n≡0（mod4）或n≡2（mod4）是算术图．     

关于图的优美性的一个猜想的证明

在齿轮图Wn的每个齿的顶端分别加上m1,m2,…,mn条长为1的边后构成的图称为顶边星图．记为Wn(m1，m2，…，mn)．当m1=m2=…=mn=k时，简记为记W^n m{1]猜想：W^n m是优美图．本巧妙地构造出一类优美标号，证明了试Wn(m1，m2，，…mn)是优美图．解决了[1]中的猜想，我们的方法与[1]比较更加简洁。     

关于图的优美性的一个猜想的证明

在齿轮图的每个齿的顶端分别加上m1，m2，…，mn条长为1的边后构成的图称为预边星图，记为（m1，m2，…，mn）．当m1＝m2＝…＝mn＝k时，简记为，文［1］猜想；是优美图．本文巧妙地构造出一类优美标号．证明了（m1，m2，…，mn）是优美图．解决了［1］中的猜想．我们的方法与［1］比较更加简洁．     

有向图n·C5(n≡0(mod2)的优美性

利用构造性方法,证明了:(1)n@→C5是优美图的充要条件是n≡0(mod2);(2)当n≡0(mod2),1≤i≤k时,优美图n@→C5中→C5(i)的弧优美值之和为2(q+1),当k+1≤i≤2k时,→C5的弧优美值之和为3(q+1).     

关于Pell方程x2-2y2=-1和y2-pqz2=4的公解

对于Pell方程组x2-2y2=-1和y2-pqz2=4（p,q为两个不同素数）,证明了：当pq≡2（mod4）或pq≡3（mod4）时,方程组无解.并讨论了当pq≡1（mod4）时方程组解的情况.     

形如15p的非优美指数

目的正整数n的因子与除数函示数d俐的问题，是数论中最基础、最重要的内容之一，有许多猜想与问题若一个整数m可表示为正整数n与它的除数函数d（n）之商，则称m为优美指数A．Murthy定义了优美指数的概念．文章研究了非优美指数．方法利用除数函数的定义和初等方法．结果证明了若p为素数，P≠0则15P为优美指数．结论存在无穷多个正整数m不是优美指数，否定了A．Murthy的猜想，证实了蒲永锋、杨仕椿的一些猜想．     

有向图n·_5(n≡0(mod2)的优美性

利用构造性方法 ,证明了 :(1)n·C→5是优美图的充要条件是n≡ 0 (mod 2 ) ;(2 )当n≡ 0 (mod 2 ) ,1≤i≤k时 ,优美图n·C→5中C→5(i) 的弧优美值之和为 2 (q + 1) ,当k+ 1≤i≤ 2k时 ,C→5的弧优美值之和为 3 (q + 1) .     

一个整除性问题

设p是奇素数,r=p(-1)/2.又设ai(i=1,2,…,n)是与p互素的整数,b=(a1r-a2r)a(2r-a3r)…(anr-ar1).证明了:当n是奇数时,必有b≡0(mod p);当n是偶数时,存在ai(i=1,2,…,n)可使b≠0(mod p).     

完全二部图的边优美性

研究了完全二部图及其局部边迁移图的边优美性．主要结果有：当（m,n）=1时,奇阶完全二部图K(m,n)为边优美图的充要条件是m＋n|mn＋1．     

关于Diophantine方程x3-p3n=Dy2

设P是奇素数，D是无平方因子正奇数，本文证明了：当p≡5(mod12)，D≡1(mod4)时，如果D不能被P或6k 1之形素数整除，则方程x^3-P^3n=Dy^2没有适合gcd(x，y)=1的正整数解(x，y，n)．     

关于Diophantine方程x3+p3n=Dy2

设p是奇素数．D是无平方因子正奇数．本证明了：当P=5(mod 12)，D=3(mod 4)时．如果D不能被P或6k 1之形的素数整除．则方程x^3 p^3n=Dy^2没有适合gcd(x，y)=1的正整数解(x，y)．     

关于C_n⊙k_1的(r_0,r_1,r_2,…,r_n)-冠的优美性(n=3,4)

给出了Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的定义,讨论了(当n=3,4时)Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的优美性,用构造性的方法给出了(当n=3,4时)一些特殊的Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠的优美标号.证明了(当n=4时)一些特殊的Cn⊙k1的(r0,r1,r2,…,rn)-冠是交错图.