逆向思维在解析几何中的应用二例

我们知道,已知圆锥曲线外一点,和圆锥曲线方程,很快可以写出切点弦方程,反之,如果已知圆锥曲线方程,和切点弦上的点,能否很快地写出切线交点的轨迹方程,回答是肯定的,只要应用一下逆向思维。 [命题1]圆锥曲线过焦点的弦二端的切线交点的轨迹是其相应的准线。     

圆锥曲线切线的又一种几何作法

文[1]、[2]提出的几种圆锥曲线的切线的几何作图都是以先作出焦点为切线几何作法的必要条件。本文给出一种不一定借助焦点的圆锥曲线的切线的几何作法。 为作图方便,我们把“圆锥曲线的对称轴的几何作图”作为读者已知的基本作图问题而直接引用(见文[2])。另外过已知点作圆锥曲线的切线,有两种情况,就是点在曲线上和点不在曲线上,点不在曲线上时所指的点是使切线存在的点     

圆锥曲线切线方程的一种简易求法

六年制重点中学课本《解析几何》,在推导已知切点 p(x_0,y_0)的圆锥曲线的切线方程时,应用判别式求斜率 k,然后应用点斜式求出切线方程(详见课本).这种方法运算较繁,特别是用这种方法推导椭圆与双曲线的切线方程,在求斜率 k 时,求解更繁,这给教和学都带来不便.本文介绍一种简易求法.以抛物线为例,设 p(x_0,y_0)为抛物线     

圆锥曲线的一类切线的几种求法

<正>直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重要内容之一,其中圆锥曲线的切线问题就是常考的知识点之一,相关题目屡见不鲜。这里介绍圆锥曲线的一类切线方程的几种求法。     

圆锥曲线顶点弦的一个性质

笔者最近探得圆锥曲线顶点弦有一个有趣性质，统一叙述如下：定理过圆锥曲线横轴（焦点所在的对称轴）上一顶点弦的两端点，分别作圆锥曲线的切线，它们相交于一点，则由这点引顶点弦的垂线必通过横轴上一定点．     

圆锥曲线切线几何作图的充要条件

通过对圆锥曲线的平行弦中点性质的探讨 ,给出了一种不需附加已知条件作圆锥曲线上某点处切线的一种几何作图方法 ,并由此可知作与已知直线平行的圆锥曲线切线的方法 ,从而得到圆锥曲线切线几何作图的充要条件 .     

用待定系数法解二次曲线切线的有关问题

圆锥曲线切线的有关问题,一般都是从曲线上的切点来讨论的。求圆锥曲线的切线方程,总是先求出切点坐标,再求出其方程,本文想用待定系数法来解与二次曲线切线有关的问题,解法上的特色是并非一定先求出切点坐标. 例1 求分别过点(2,3~(1/2))与(0,1)的双曲线的切线方程。解设所求的切线方程为 Ax By=C(1) 由x~2-y~2=1 Ax By=C 得(B~2-A~2)x~2 2ACx-C~2-B~2=0 此方程有重根的条件是 A~2-B~2=C~2(2) 过点(2,3~(1/2))的切线方程,由(1)得     

圆锥曲线的光学性质及其应用

一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质,因而为正确理解与掌握其光学性质,就要掌握其切线、法线方程的求法及性质.设P(x0,y0)为圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+     

圆锥曲线切线方程的探索

纵观近几年的高考试卷，发现圆锥曲线以切线为背景的问题经常出现在各地的高考试题中．这类问题往往因为运算量大而且计算十分复杂，最终被考生因为时间不够而放弃．为此，本文结合高考实例探索圆锥曲线切线方程的求法，以供参考．     

“在”与“过”，有所不同

曲线在某点处的切线方程与曲线过某点的切线方程不同,在解题过程中,这是一个易混点．求曲线的切线方程时,首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上,可用求切线方程的一般方法求解;若不在曲线上,可先设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标或切线斜率,从而得到切线方程．     

曲线与其切线关系误点辨析

正在高中数学学习导数时,经常会碰到求函数的切线方程这一问题,主要做法是函数在切点处的导数值等于切线的斜率.而对于切线的理解,由于受圆和圆锥曲线切线(圆与圆锥曲线的切线:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一侧的直线叫切线)的影响,同学们对于切线的认识存在着许多的误解,本文就常见的误解加以一一辨析,希望起到明辨是非的作用.     

例说三角代换法的解题功能

本文介绍圆锥曲线的切线的几何作法、圆锥曲线的光学性质以及相关的导数知识。1．“一截、二取、三连”的统一几何法探求思路：圆锥曲线的定义是圆锥曲线上的点的本质属性,圆锥曲线方程和点的焦半径公式是曲线上点的表现形式．导数的几何意义是切线的斜率．借助线段的定比分点公式、切线与法线的垂直关系可以统一探求．     

圆锥曲线过准线上一点的切线的两个性质

正笔者在研究过圆锥曲线的准线上一点作圆锥曲线的切线时,得到两个性质.性质1已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ的两条切线PA,PB,A、B为切点,则直线AB过焦点F.当曲线Γ为椭圆时,如图1,不妨设椭圆的标准方程为     

圆锥曲线的极点与极线方程

从一点P(x_0,y_0),引圆锥曲线的两条切线PR、PQ,切点为R、Q,那末以R、Q为端点的弦PQ叫切点弦,切点弦所在的直线称为点P关于圆锥曲线的极线;而P点称为极线关于圆锥曲线的极点。极线方程也叫切点弦方     

例谈用导数的几何意义求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为:y-y0=f’(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.     

导数与切线问题的常见类型和隐患

本文主要研究了高中数学中出现的利用导数求函数切线的问题,主要介绍了已知切点求切线、已知斜率求切线、过曲线上一点求切线、过曲线外一点求切线四种高考中常见的类型。另外还谈到了导数不存在而切线存在的问题,利用导数求圆锥曲线切线等。     

圆锥曲线与切线有关的一个统一性质

笔者通过探究,得到圆锥曲线与切线有关的一个性质.性质1如图1,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A是椭圆在x轴上的一个顶点,S是椭圆上异于A的任一点,椭圆在S处的切线交x轴于点R,OS交椭圆在顶点A处的切线于点B,则SA//BR.     

例析直线与圆锥曲线位置关系的一般研究过程

直线与圆锥曲线位置关系的问题是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。本文通过对一道典型例题的分析研究,引导学生从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并用方程法讨论直线与圆锥曲线位置关系,从而掌握研究此类问题的一般手法。引例：已知抛物线C：x2=4y的焦点F为椭圆E的上顶点,椭圆E的离心率为槡32,直线l过点F交抛物线C于A,B两点,分别过点A,B作抛物线C的切线l1,l2,直线l1,l2相交于点M。     

用圆锥曲线的定义求点的轨迹方程

有关解析几何部分的高考重点,近几年已偏向于求解点的轨迹方程(或曲线方程),它综合考查学生的逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力.如果所给的几何条件正好符合圆锥曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线……)的定义,就可以直接利用这些已知曲线的方程,巧妙地求出动点的轨迹方程,从而使复杂的运算简单化,达到事半功倍的效果.例1 由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.[分析]由平面几何知识,易知PO(O是坐标原点)的值是定值.解:∵PA、PB是圆x2+y2=1的两条切线,∴OP平分∠APB,即…     

圆锥曲线变动弦中点轨迹方程的统一求法

本文给出圆锥曲线各种变动弦中点轨迹方程的统一求法,这种求法程序简单,便于记忆和应用。在此基础上就几类常见的弦中点轨迹问题分别举例加以说明。 一、一般圆锥曲线变动弦中点轨迹的统一方程及求法 引理:设圆锥曲线C的方程为:F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy 2 Dx Ey F=0（1）记Fx（x,y）=2Ax By D,F＇y（x,y)=Bx 2Cy E假如C以己知点M（Xo,yo）为中点的弦存在,则该弦所在直线的方程为: