巧用直线与圆的关系解三角题

根据直线与圆的位置关系有：直线Ax＋By＋C=0（A,B不同时为零）与圆（x-a）^2＋（y-b）^2有公共点等价于｜Aa＋Bb＋C｜√A^2＋B^2≤r,利用这一结论解答某些三角问题简洁明了，耳目一新。     

巧配方求最值

我们熟知，对于任意实数α来说α^2是一个非负数，即α^2≥0，所以α^2就有最小值为0，对于一般情况α^2＋m显然有α^2＋m≥m（m为任意实数），即当α=0时代数式α^2＋m有最小值为m．运用这一性质，可以巧妙的解决一类竞赛题．     

向量的一个性质及应用

定理 在多边形A1A2…An中,^→A1A2＋^→A2A3＋…＋^→An-1An＋^→AnA1=0. 这是一个显然的结论，根据向量加法的意义即可证得．巧用这一结论，可解决一系列向量问题，现举例说明．     

利用一元二次方程根的定义解题

若x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）的两根，则有ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0．反之，若ax1^2＋bx1＋c=0，ax2^2＋bx2＋c=0，且x1≠x2，则x1，x2是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两根。     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

一元二次函数解题一例

先让我们欣赏如下的一个算术题：10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2/365=？ 这是一个很有趣的题目，出现在俄罗斯著名画家波格达若夫·贝尔斯基的一幅画中．画的名字叫《一道难题》．这幅画作于1895年，画中描绘的是当时著名的数学教授拉欣斯基正在给学生们上课的情景，呈现在课堂上的是上面的那个算术题．     

两道竞赛题的统一推广

1．2005年中国数学奥林匹克国家集训队测验（一）第6题：设a，b，f，d〉0，且abcd=1，求证：1/（1＋a）^2＋1/（1＋b）^2＋1/（1＋c）^2＋1/（1＋d）^2≥1.[编者按]     

名画·中考题

前苏联画家波洛丹诺夫·别列斯基，曾画了一幅名为《口算》的油画，画中有一块黑板，黑板上写有一道心算题目“10^2＋11^2＋12^2＋13^2＋14^2/365=？”，一群学生围着黑板正在冥思苦想．[第一段]     

再谈1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的导出

文[1]给出1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3公式的四种求法，文[2]就文[1]的面积法再介绍三种构造方法．笔者深受启发，现再给出几种证明方法．     

正多边形的内切圆和外接圆的一些性质——一个问题的求解、引中与推广

1 问题的求解 《数学通报》2006年10月号问题第1637题：P是正△A1A2A3的内切圆⊙O上任一点，P到A1A2，A2A3，A3A1的距离分别为d1，d2，d3．问：当P点位置变化时，d1^2＋d2^2＋d3^2是否为定值？d1^4＋d2^4＋d3^4是否为定值？说明理由．[第一段]     

利用对分法求取蛋白质等电点

f（[H]）=（Km＋1／[H]＋2Km＋1Km＋2／[H]^2＋∧）-（[H]／Km＋2[H]^2／KmKm-1＋∧）．m为蛋白质可结合质子残基数,任意选取两个pH值,pHa、pHb,作为起始边界值,它们的f（[H]）分别大于和小于零,然后计算出pHa、pHb的均值pHc,若pHc对应的f[H]）值小于零,则搜索范围缩小为[pHa、pHc],否则则为[pHb、pHc],逐步缩小搜索范围直至两边界值相等即为等电点计算结果。     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.     

一道典型不等式的证法探求

题目已知a、b是正数，且a＋b=1，求证（n＋1）^2＋（b＋1）^2≥9/2．该题是一类典型的条件不等式证明题，可用常规的比较法，综合法，分析法等证明．[第一段]     

巧求非对称式的值

在一元二次方程似αx^2＋bx＋c=0（α≠0）中，我们对于一些根的对称式，如：x1＋x2，x1x2，x1^2＋x2^2，x1^3＋x2^3，1/x1＋1/x2能熟练地运用根与系数的关系直接求出，但对于一些非对称式，就显得不那么容易了．所谓非对称式，即是把代数式中的两个字母互换后，所得代数式不等于原来的代数式，对于这一类非对称式的求值问题，我们可以归结为以下几种常用的方法．     

你来做一做

1．计算：2010^2/2009^2＋2011^2-2 2．已知m＋n=2010,求m^2＋n^2的最小值     

一个重要的恒等式及其应用

完全平方公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2的两边相减得 ab=1/4[（a＋b）^2-（a-b）^2]…… 这是一个极其重要的恒等式，它能使我们更便捷地解答一些题目，请看下面的例子．[第一段]     

对一道联赛题的多方位探究

1999年全国高中联赛试题的第五大题是：给定正整数n和正数M，对于满足条件a1^2＋an＋1^2≤M的所有等差数列：a1，a2，a3，…，试求S=an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．     

离子缔合物固体基质室温磷光法测定痕量汞

在HAc介质中，Hg^2＋能灵敏催化a，a-联吡啶（bipy）取代[Fe（CN）6]^4-中的CN^-配位基的反应形成[Fe（bipy）3]^2＋络阳离子，而该[Fe（bipy）3]^2＋络阳离子和四溴荧光素阴离子（FinBr^-4）作用形成的[Fe（bipy）3]^2＋-[（FinBr4）2]^2-离子缔合物可在滤纸固体基质上发射室温磷光，据此建立了[Fe（bipy）3]^2＋-[（FinBr4）2]^2-离子缔合物固体基质室温磷光测定痕量汞的新方法。其线性范围为1．6～16（fg/斑）（0．4μL/斑，对应浓度0．004-0．04ng／mL），工作曲线的回归方程为△Ip=1．058＋7．671CHg2＋fg／斑），n=7，相关系数r=0．999，检出限：0．18fg／斑。所建方法用于人发、香烟样品中痕量汞（Ⅱ）的测定，结果满意。本文同时探讨了离子缔合物固体基质室温磷光测汞的反应机理。     

关于两道数学竞赛题的探究

题1 设a、b、c是正实数．证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8.     

勾股数组的探讨

勾股数组是指满足勾股定理a^2＋b^2=c^2的数组（a，b，c），例如20^2＋21^2=29^2可以得到一组勾股数（20，21，29）．[第一段]