函数的三性问题

函数的单调性、奇偶性和周期性是函数的重要核心内容 ,也是高考重点测试内容之一 .纵观近几年来高考题中有关函数的三性的考题 ,既有客观题 ,也有主观题 ;既有基础与中等题 ,也有综合性的难题 ;不仅考查知识 ,也考察能力 ,特别有一些试题 ,新颖独特 ,解法灵活 ,对中学数学教学产生了好的导向作用 .一、单调性一般地 ,若ｕ=ｇ(ｘ)为区间Ｍ上的单调函数 ,其值域为Ｎ ,ｙ =ｆ(ｘ)为Ｎ上的单调函数 .则复合函数ｙ =ｆ(ｇ(ｘ) )在Ｍ上是单调函数 ,复合函数ｙ=ｆ(ｇ(ｘ) )的单调性与函数ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的单调性的关系如下表所示 (其中增函数简记为…     

复合函数的性质

复合函数是函数知识的综合和拓展 ,在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识 ,在国内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现 ,但现行中学数学教材中没有作出系统研究 .本文拟讨论形如 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]的复合函数的性质及其应用 .一、基础知识1 定义 .设函数ｙ =ｆ(ｕ) ,当ｕ∈Ｐ时 ,ｆ(ｕ)∈Ｑ ;ｕ又是ｘ的函数 ,ｕ =ｇ(ｘ) ,当ｘ∈Ｍ时 ,ｕ∈Ｐ .从集合Ｍ中每一个给定的ｘ ,通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ中唯一的元素 ｙ相对应 ,则ｙ也是ｘ的函数 ,称为这两个函数的复函数 ,记为ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] .其中ｙ=ｆ(ｕ)叫做复合函数的外函数 ,ｕ =…     

函数y=x4+px2+q的两个性质及应用

函数 ｙ =ｘ4 +ｐｘ2 +ｑ的性质及应用在各类考卷中经常出现 ,笔者在此给出其应用较为广泛的两个性质———单调性和恒成立性。性质 1　对于函数ｙ =ｘ4 +ｐｘ2 +ｑ　 (ｐ、ｑ∈Ｒ) ,(Ⅰ ) ｐ≥ 0时 ,单调减区间为 (-∞ ,0 ];单调增区间为 (0 ,+∞ )。(Ⅱ ) ｐ <0时 ,单调减区间为 (-∞ ,--ｐ/2 ]和 [0 ,-ｐ/2 ];单调增区间为 [--ｐ/2 ,0 ]和[-ｐ/2 ,+∞ )。下面用复合函数单调性理论来证明 (Ⅱ )。令ｕ =ｘ2 ,则 ｙ =ｕ2 +ｐｕ +ｑ ,显然ｕ =ｘ2 在ｘ∈ (-∞ ,0 ]上是减函数 ,在ｘ∈(0 ,+∞ )上是增函数 ,ｙ=ｕ2 +ｐｕ +ｑ在ｕ∈ (-∞ ,-ｐ…     

复合函数教学点滴

中学数学微积分初步主要讨论一元函数的微积分问题 ,而一元函数中复合函数是最常见、最主要的内容 ,它占有举足轻重的地位。复合函数的知识是求导和求积的重要基础知识 ,认识不到函数的复合及一复合函数怎样分解 ,求导、求积就会寸步难行 ,造成教学上的困难。一、复合函数注意事项设有两个实数集上的映射 :　　　　ｆ:ｙ=ｆ(ｕ)　　　ｕ∈Ｄｆ　　　　ｇ :ｕ =ｇ(ｘ)　　　ｘ∈Ｄｇ如果映射ｇ的值域Ｒｇ 与映射ｆ的定义域Ｄｆ有 :Ｒｇ Ｄｆ,于是可将ｕ =ｇ(ｘ)代入 ｙ =ｆ(ｕ)得到新函数　　　　ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ]　　　ｘ∈Ｄ ,Ｄ =Ｒｇ ∩…     

函数中几类逆问题的求解策略

已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式 ,我们可以确定函数ｆ(ｘ)的定义域、值域、单调区间等性质。反之 ,若函数ｆ(ｘ)的解析式中含有参数 ,又已知 ｆ(ｘ)的有关性质(如定义域、值域、单调性等 ) ,而求其中参数 (范围 ) ,我们称这样的问题为函数中的逆问题。本文的目的是剖析典型例题和     

用函数单调性巧解高次方程

函数单调性是函数一个非常重要的性质，是高考和各级数学竞赛的热点．由于单调函数ｙ＝ｆ（ｘ）中ｘ与ｙ是一一对应的，这样我们就可把复杂的高次方程通过恰当变形转化为型如“ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）”方程，从而利用函数单调性解方程ｘ＝ａ，使问题驭繁为简，而构造单调函数是解决问题的关键．     

构造函数模型证明不等式

有些不等式的证明 ,如果采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从函数思想考虑 ,按照函数的某些性质适当地构造函数模型 ,问题可能容易解决 .一、利用单调性构造函数模型证不等式构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ｘ >0 ,求证 :ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1≤ 2 - 3.证明 :设ｕ =ｘ 1ｘ,则ｕ≥ 2 .又ｕ2 =ｘ 1ｘ 2 ,∴ ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1=ｕ -ｕ2 - 1=1ｕ ｕ2 - 1.当ｕ≥ 2时 ,这是一个关于ｕ的减函数 ,故当ｕ…     

函数单调性的几种运算法则

函数单调性的几种运算法则江苏省大丰县白驹中学姜兴荣函数的单调性是函数的重要性质之一，对于它的讨论通常有定义法、图象法、复合函数法等．能否先推导出几个运算法则，以简化讨论呢？本文就此做一些粗浅的探讨．一、线性法则定理１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在上递增，ａ、ｂ...     

有关函数概念的几个问题

函数概念是高一代数的难点知识之一,特别是有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数等概念,更是学生难理解、易错误的典型内容．以下笔者就教学中遇到的几个问题提出,以供参考．１有关一类定义域的问题例１已知函数ｙ＝ｆ（２ｘ）的定义域是〔－１,１〕,求函...     

解读反函数

反函数是中学数学的重要内容 ,是函数部分的难点 ,高一学生初次接触这一内容时 ,学习和理解都比较困难 .为了帮助学生理解这部分内容 ,培养学生的理解能力和判断能力 .本文就现行教材中的反函数问题进行解读 .一、定义设函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的值域为Ｄ .根据这个函数中ｘ与ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出来 ,得到ｘ=φ( ｙ) .如果对于 ｙ在Ｄ中的任何一个值 ,通过ｘ=φ( ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么 ,ｘ=φ( ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ =φ( ｙ) ( ｙ∈Ｄ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 …     

巧用函数单调性解题

函数的单调性是函数的重要性质之一 ,平时的教学中我们对于证明函数的单调性 ,求函数的单调区间比较熟悉 ,但对于利用函数的单调性巧妙解题 ,却知之不多。本文归纳介绍它的一些应用 ,供参考。1　求值域例 1　求函数 ｙ=3 ｘ 2 -ｘ -7的值域。解　 ｙ=3 9ｘ 2 ｘ -7,∵ｘ 2 ｘ -7在 [7, ∞ )上单调增 ,∴ ｙ在 [7, ∞ )上单调减 ,∵ｘ≥ 7,∴ 0 <ｆ(ｘ)≤ｆ( 7) =33 ,故 ｙ∈ ( 0 ,33 ]。例 2　求函数 ｙ=ｘ 1ｘ 3 3的值域。解　 ｙ=ｘ 3 1ｘ 3=[ｘ 3-1ｘ 3]2 2 ,∵在 [0 , ∞ )上 ,ｘ 3≥ 3,∴ｘ 3>1ｘ 3,又ｘ 3-1ｘ 3在 […     

由调和函数确定解析函数的几种方法

由调和函数确定解析函数的几种方法●宋彦在复变函数论中，已知调和函数ｕ（ｘ，ｙ），确定其共轭调和函数ｖ（ｘ，ｙ），从而构成解析函数ｆ（ｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ），这种方法在利用复变函数研究平面向量场的有关问题中起着重要的作用。但一般教科书中只给...     

函数y=Asin(ωx+φ)的错解剖析

函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ+ φ)是三角部分的重点内容之一 ,也是高考的热点之一 .它的综合性很强 ,学生在解题过程中常常出错 .下面笔者精选三类典型且易出错的题目加以剖析 ,旨在引导学生共同研究题目的特点 ,掌握解题方法 .一、函数单调性问题例 1　求函数ｙ=2ｓｉｎ π3 -2ｘ的递增区间 .错解　由 2ｋπ -π2 ≤ π3 -2ｘ≤ 2ｋπ +π2 (ｋ∈Ｚ) ,得-ｋπ-π12 ≤ｘ≤ -ｋπ+ 5π12 (ｋ∈Ｚ) .所以函数 ｙ=2ｓｉｎ π3 -2ｘ 的递增区间为 -ｋπ-π12 ,-ｋπ+ 5π12 (ｋ∈Ｚ) .剖析　令ｕ =π3 -2ｘ ,函数 ｙ =2ｓｉｎ π3 -2ｘ是由 ｙ =2ｓ…     

也谈周期函数的几个问题

一、与周期函数定义有关的问题１．关于定义域的特征文［１］所引用的周期函数的定义就是现行高中代数课本中的定义,即“对于函数ｙ＝ｆ（ｘ）,如果存在一个不为零的常数Ｔ,使得当ｘ取定义域内每一个值时,ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）都成立,那么就把函数ｙ＝ｆ（ｘ）叫做周期函数．不为零的常数Ｔ叫做这个函数的周期”．根据定义可知,若Ｔ是ｆ（ｘ）的一个周期,且ｆ（ｘ）的定义域为Ｍ,则对于任何ｘ∈Ｍ,都有ｘ＋Ｔ∈Ｍ,进而推知ｘ＋ｎＴ∈Ｍ（ｎ∈Ｎ）,因此,周期函数的定义域至少是一端无界的数集,在数轴上至少可以向一方无限延伸…     

新版高中数学课本中几个问题的商榷

1　几个定义的商榷1 1　关于函数的单调性的定义新版高中数学课本第一册 (上 ) [1] 第 5 8页是这样定义增函数的 :“一般地 ,设函数 ｆ(ｘ)的定义域为Ｉ:如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值ｘ1、ｘ2 ,当ｘ1<ｘ2 时 ,都有 ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,那么就说ｆ(ｘ)在这个区间上是增函数 ;…”(着重号是笔者所加 )。书中减函数、函数的单调性都是对其定义域内某个区间而言的 ,此处略。分析　按此定义 ,函数 ｆ(ｘ)定义域Ｉ的子集Ｄ必需是区间 ,那么诸如ａｎ=1 2ｎ(ｎ∈ {1 ,2 ,3 ,4 ,5 })就不是增函数 ,进而得出结论 :任何单调…     

导数法与函数的单调性

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程 ,这些都是近年高考的热点问题 .若利用单调性定义求解 ,一般较为复杂 ,做此类题目时学生往往半途而废 ,失分率较高 .高中教材引入导数以后 ,利用导数解决这类问题就变得比较简单 ,学生也易于接受 .函数的单调性与其导数的关系 :设函数 ｙ =ｆ(ｘ)在某个区间内可导 ,则当 ｆ′(ｘ) >0时 ｆ(ｘ)为增函数 ;当 ｆ′(ｘ) <0时 ｆ(ｘ)为减函数 .例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 + 2ｘ,ｘ∈ (0 ,+∞ )的单调区间 .解　ｆ′(ｘ) =2ｘ-2ｘ2 =2 (ｘ3-1 )ｘ2 ,令 ｆ′(ｘ) =0 ,得ｘ=1 .∵ｘ>…     

利用函数y=x＋1／x解题举例

利用函数的单调性解题是数学的重要解题思想 .函数ｙ=ｘ 1ｘ 在 (0 ,1 )内单调递减 ,在 (1 , ∞)内单调递增 .下面通过几个例子谈谈利用这一性质解题 .例 1　求函数ｙ =ｘ2 5ｘ2 4的最小值 .解　令ｘ2 4=ｔ,则ｙ =ｔ 1ｔ,ｔ 2 .因为在ｔ 2时 ,函数ｙ=ｔ 1ｔ 单调递增 ,所以函数在ｔ=2时取得最小值 ,最小值 =2 12 =52 .例 2　已知函数ｙ =ｃｏｓ2 ｘ 6ｃｏｓｘ 1 0ｃｏｓｘ 3 ,ｘ∈ [0 ,π],求值域 .解　令ｃｏｓｘ 3 =ｔ,则ｙ=ｔ 1ｔ,ｔ∈[2 ,4].因为函数ｙ =ｔ 1ｔ 在 [2 ,4]上单调递增 ,所以在ｔ =2时函数取得最小值 =2 12 =52 ,…     

分子分母都是二次式的分式函数的极值问题

函数 ｙ =Ａ(ｘ)Ｂ(ｘ) (Ａ(ｘ)、Ｂ(ｘ)都是二次三项式 ,二次项系数不为零 )的极值问题 ,是中学数学颇受注意的内容之一 ,也是考试常见的题型。现拟借助函数 ｙ =ｘ± 1ｘ 的单调性来探讨这类函数的极值问题求解的通法。下面先来探讨一下 ｙ =ｘ± 1ｘ(ｘ≠ 0 )的单调性与极值。分析 :　我们都知道 ,对 ｙ =ｘ± ( 1 /ｘ) (ｘ≠ 0 )来说 ,它们都是奇函数 ,根据奇函数的性质 ,只需要讨论一下在 ( 0 , ∞ )上的单调性就可以了。对 ｙ =ｘ -( 1 /ｘ)来说 ,由于 ｆ(ｘ) =ｘ、ｆ(ｘ) =-1 /ｘ在 ( 0 , ∞ )上都是增函数 ,且当ｘ→ 0时 ,ｙ→-∞ ;…     

零点等值法确定函数的单调区间

在讨论函数的单调性时 ,会遇到确定函数的单调区间的问题 .为解决这类问题 ,常需寻找区分单调增区间与单调减区间的分界点 .下面介绍“零点等值法” ,能对一些函数解决这一问题 .例 1　讨论函数 ｙ=ｘ+ 1 -ｘ的单调区间 .解　函数的定义域为 (-∞ ,1 ].设ｘ1 <ｘ2 ≤ 1 ,则ｙ1 -ｙ2 =ｘ1 + 1 -ｘ1 -ｘ2 -1 -ｘ2=(ｘ1 -ｘ2 ) 1 -11 -ｘ1 + 1 -ｘ2令ｘ1 =ｘ2 =ｘ ,由1 -11 -ｘ + 1 -ｘ =0 ,得ｘ=34.∴函数的单调区间可能是-∞ ,34和 34,1 .下面给出证明 .当ｘ1 <ｘ2 ≤ 34时 ,ｘ1 -ｘ2 <0 ,1 -11 -ｘ1 + 1 -ｘ2>0 ,∴ｙ1 <ｙ2 ,所以 ,函数 ｙ …     

从三则评卷信息看解高考解答题的理论依据

一、三则评卷信息１．全国高考数学试卷１９９１年理工农医类中的第２４题是：根据函数单调性的定义,证明函数ｆ（ｘ）＝－ｘ３＋１在（－∞,＋∞）上是减函数．本题满分１０分．在文［１］的Ｐ．４７６参考答案和评分标准之后,有“注”写道：“只利用ｙ＝ｘ３在［０,...