一道道水来一道道山

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一道高考试题与一道奥赛试题

20 0 3年高考数学卷 (全国 )第 1 5题为 :如图 1 ,一个地区分为 5个行政区域 ,现图 1给地图着色 ,要求相邻区域不得使用同一种颜色 .现有 4种颜色可供选择 ,则不同的着色方法共有种 (以数字作答 ) .新课程数学卷第 1 5题为 :某城市在中心广场建造一个花圃 ,花圃图 2分为 6个部分 (如图 2 ) .现要栽种 4种不同颜色的花 ,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花 ,则不同的栽种方法有种 (以数字作答 ) .看到这两道试题 ,使我们联想到 2 0 0 1年全国高中数学联赛第 1 2题 (见《中等数学》2 0 0 1年第 6期 ) :在一个正六边形的 6个区域栽…     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

纠正一道竞赛题

1991年南昌初r中竞赛有一道试题:“设x,u,z 是三个实数,且有1/x+1/y+1/z=2,1/x~2+1/y~2+1/z~2=1则1/xy+1/yz+1/zx 的值是( ),(A)1,(B)2~(1/2).(C)3/2.(D)3~(1/2).我认为这是一道错题.事实上,满足题设条件的实数 x,y,z 不存在,当然也就谈不上     

一道试题

一所学校的考试试卷中有这么一道题：“一斤白菜多少钱？” 有人答：“5毛。” 有人答：“北京1块，上海8毛，广州9毛，深圳1块2毛。”     

从一道模拟试题到一道联赛试题

1问题提出笔者所在学校的高三模拟试卷中有这样一道试题:已知点F是抛物线C:y2=x的焦点,S是抛物线C在第一象限上的点,且|SF|=5/4.(1)求点S的坐标;(2)以点S为圆心的动圆S与x轴分别相交于     

一道不等式的推广

人教版教材高中数学第二册上(必修)第30 页有这样一道习题 已知:a > b > c,求证: 1 1 1 > 0 . a ? b b? c c ? a 此题可推广如下: (1)已知 a > b > c,求证: a ? b b? c c ? a 1 1 4 ≥ 0 . 证明 ∵(a ? c)(a 1 1 ? b b ?c) =[(a ?b) (b ?c)](a ? 1 1 ≥ 4, b b ? c) ∴ ,　 a ? b b ? c a ?c 1 1 ≥ 4 1…     

一道竞赛题新探

题:已知x、y、z＞0,且x2/1 x2 y2/1 y2 z2/1 z2=2,求证x/1 x2 y/1 y2 z/1 z2≤(√2).(第一届"希望杯"备选题) 文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明,并对命题的结论和条件进行推广.     

赏析一道习题

习题 设n∈N^＊，且n≥2， cosa＋cos（2π/n＋a）＋cos（4π/n＋a）＋…＋cos[2（n-1）π＋a] （1） sina＋sin（2π/n＋a）＋sin（4π/n＋a）＋…＋sin[2（n-1）π/n＋a] （2）的值．     

一道思考题

题:某非金属元素气态氢化物中,氢原子个数与等摩尔的最高价氧化物中氧原子个数之比为2:1,氢化物的分子量与其最高价氧化物分子量之比为1:1.875,该元素的原子核里质子数与中子数相等。试推断该元素是什么元素? 解法一:设该元素为R,气态氢化物的分     

分析一道中考题

例如图1所示,电源电压为220V,R1、R2、R3为定值电阻,其阻值不明,但可能的值为44Ω、88Ω、176Ω和220Ω。闭合开关S,在S1、S2都断开和S1、S2都闭合的情况下,电流表的示数之比为1∶10,电路消耗的功率有4种不同的情况,其中消耗功率最大的值是1100W。求:1、R2的阻值。2、在S开关闭合,S1、S2都断开的状态下,电压表的示数可能的值各是多少?析与解本题灵活性大,开放性强。思维的方向是:第一步:从电路消耗的最大功率(S、S1、S2都闭合,R1、R2、R3并联时P=U2/R)入手,求得R并=44Ω。再从开关S闭合,S1、S2断开,R1、R2、R3串联入手,求得R串…     

分析一道中考题

例 如图1所示，电源电压为220V，R1、R2、R3为定值电阻，其阻值不明，但可能的值为44Ω,88Ω、176Ω和220Ω。闭合开关S，在S1、S2都断开和S1、S2都闭合的情况下，电流表的示数之比为1：10，电路消耗的功率有4种不同的情况，其中消耗功率最大的值是1100W。求：     

一道几何趣题

解决如下趣题:在△AB_nB_(n+1)中的线段AB_1、AB_2……AB_n把△AB_oB_(n+1)分成n十1个含有等内切圆的三角形。求sum from i=1 to nAB_i的长。     

剖析一道中考题

1 原题重现 一辆汽车从A地驶往B地,前1/3路段为普通公路,其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km／h,在高速公路上行驶的速度为100km／h．汽车从A地到B地一共行驶了2．2h．     

一道习题的推广

高中《代数》(甲)第二册P112有这样一道习题:求证1 1/2~(1/2) … 1/n~(1/2)>n~(1/2)(n≥2). 事实上还有比它更强的不等式:1 1/2~(1/2) … 1/n~(1/2)>2(n 1~(1/2)-1)(1) 本文直接对(1)作出推广. 命题如果等差数列的首项a≥1,公差d>0,那么1/a~(1/k) 1/a d~(1/k) … 1/a nd~(1/k)>k/d(a (n 1)d~(1/k)-a~(1/k),     

一道竞赛题的探究

本刊1987年第五期《高中数学基础知识竞赛题》第一试第6题是: 比较(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)和1897/1987的大小。本文给出结论的改进,推广和引伸:(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)<1/4。 (1) (1)式可推广为命题1 设m,n为自然数,m≤n, 则(1-1/n)(1-2/n)…(1-m/n)<1/2~(2m(m+1)/3n) (2) 为证明(1)与(2),先证明下面两个命题: 命题2 设0≤x≤1,则 1-x≤1 e~x。 (3) 证明:设f(x)=1-x-1/e~x,0≤x≤1·     

一道高考题的探究

题目如图1,已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A₁的最短路线的长为_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>.（06年江西）     

从一道例题说起

例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以     

一道综合题解析

题目　设某二倍体生物 ,体细胞中有 3对同源染色体 (ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′)每对染色体上有一对等位基因(Ｒｒ、Ｍｍ、Ｎｎ)。则 :(1 )该生物某一体细胞分裂 ,由 1个着丝点相连的两个染色单体上基因不同 ,原因是　　　　　。(2 )该生物进行减数分裂 (不考虑同源染色体的交叉互换 )时 :ａ 它的 1个精原细胞分裂 ,能产生　　　　　个精子和　　　　　种精子。ｂ 若 3个精原细胞分裂 ,可能产生　　　　　种精子。ｃ 若要形成 8种基因型的精子 ,至少要　　　　个精原细胞分裂。ｄ 该生物的 1个精原细胞减数分裂 ,产生了 1个ＲｍＮ的精子 ,则同…     

小议一道习题

有人出了这样一道题目: “某校图书馆存书中,数学书占1/10,文学书占4/7,少年科技书是1150本,比文学书的58％少10本。图书馆有数学书多少本?”(刊于×报刊上) 交学生计算时,大部分学生是用(1150 10)÷58％÷4/7×1/10或1150 (1-1/10-4/7)去解答的,结果都是350本。