分式不等式的置换证法

本刊1992年第六期《“配偶”技巧的应用》一文中的例1如下,设x、y、z是正数,求证: (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1) 上述这个不等式的背景实际上称作W Janous猜想,在《数学通讯》1992年第4期上作为数学难题刊载出来,据供题人称,此题选自《Crux》1612(即加拿大《数学难题》杂志) 由本刊及《数学通讯》上给出的两种证法实际上是同一种方法,显得繁琐。由此,我们不禁要问,对于一些分式不等式的证明,是否一定要实施通分或用排序原理等手段来完成呢?有无更好的一些方法?回答是肯定的。本文拟介绍一种较为简洁而又实用的分母置换证法,以供教学中参考。我们先以证明W.Janous猜测为例。如若     

习作二则

一一个难题不等式的加强与简证已知x、y、z∈R~ ,证明 (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1) 此题原载于加拿大的《数学难题》杂志612,是W. Janoux猜想,其证法散见于国内许多数学杂志,我们将它在指数方面加强得到: (y~n-x~n)/(z x) (z~n-y~n)/(x y) (x~n-z~n)/(y z)≥0(其中n ∈     

改正一个错误的证明

1981年12期数学通报《几种类型的不等式证明》一文中(二): 已知条件为线性方程形式的不等式证明(即条件x+y+z+…A,A为常数)。 4:若x+y+z=1,试证x~2+y~2+z~2≥1/3证明:令x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t(t为实数)。 x~2+y~2+z~2=[(1/3)-t]~2+[(1/3)-2t]~2+[(1/3)-3t]~2 =1/9-(2/3)t+t~2+1/9-(4/3)t+4t~2+1/9+2t+9t~2 =1/3+14t~2≥1/3 (∵t为实数)。 当t=0时,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。     

W·Janoux猜想的演变与统一证法

设x、y、z >0,则(y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0这个条件不等式为原载于加拿大《数学难题》杂志的一个难题,被称为W·Janoux猜想,它曾经引起众多数学爱好者的关注.人们从各种不同的角度,采取了不同的思想方法,证明了这个猜想的正确性.本义首先给出这个猜想的一件简单证法.然后谈谈它的各种演变形文和统一证法.     

一个流行不等式的再推广及统一证明

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R~ ,x y z=1,求证:(x~4)/(y(1-y)) (y~4)/(z(1-z)) (z~4)/(x(1-x))≥1/6.(1) 1994年,尹文华老师将其推广,得到如下结果:     

一道竞赛题的多种解法

1992年“友谊杯”国际数学竞赛题中的一道方程题是: 求三个实数x,y,z,使得它们同时满足下列方程; 2x 3y z=13 ① 4x~2 9y~2 z~2-2x 15y 3x=82 ②     

一个不等式的多证

题已知x、y、z均为正实数,求证：x/2x＋y＋z＋y/x＋2y＋z＋z/x＋y＋2z≤3/4（1996年《中等数学》第2期数学奥林匹克问题初40题）文[1]、[2]分别给出了上述不等式的一种证法．本文再给出几种新证法．     

△巧解因式分解题

上海市1985年初中数学竞赛出了一道这样的题:x~2y—y~2z+z~2x—x~2z+ y~2z+z~2y—2xyz因式分解后的结果是( ) (A)(y—z)(x+y)(x—z), (B)(y—z)(x—y)(x+z), (C)(y+z)(x—y)(x+z), (D)(y+z)(x+y)(x—z). 现在收到两位作者的来稿,用不同的方法解了这道题,现逐一介绍如下.     

IMO46-3的推广与加强

第46届国际数学奥林匹克第3题是:设x,y,z 为正数且 xyz≥1,求证:(x~5 x~2)/(x~5 y~2 z~2) (y~5 y~2)/(x~2 y~5 z~2) (z~5-z~2)/(x~2 y~2 z~5)≥0 ①本文给出这道题的推广与加强.命题1 设 x,y,z 为正数且 xyz≥1,k,m     

对称式·循环对称式·排序法——从W·Janous猜想想到的

问题:设x、y、z∈R~ , 求证:(y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0.(W·Janous猜想),最先发表在加拿大《数学难题》杂志1612期上,近年我国中数界对此很感兴趣,遗憾的是发表在一些杂志上有的证明草率地用了排序法致错,原因在于对对称,循环     

一个代数式的最小值的三角求法

1988年第22届《(前)全苏中学生数学奥林匹克竞赛》10年级第2题: 设x,y,z是正数,且x~2 y~2 z~2=1,试求如下表达式的最小值。 S=(yz)/x (zx)/y (xy)/z。(见数学奥林匹克题库编译小组《(前)苏联中学生数学竞赛题解》P_(86)472。新蕾出版社1991年)     

也谈条件等式的一些证法

本刊1984年第1期上何平老师的“条件等式的一些证法”一文,读后收益不少。但我们感到还可以作些补充。因式分解法有以下几种情况: 1、通过对已知条件分解因式,获得某种简单关系,使证明得到解决。例1 已知x~2-yz=y~2-zx,x(?)y,求证z~2-xy=y~2-zx。证由已知x~2-yz=y~2-zx,移项得 x~2-y~2+zx-yz=0,分解因式得(x-y)(x+y+z)=0,∵x(?)y,∴x+y+z=0。①又z~2-xy-(y~2-zx)=(z-y)(x+y+z),     

巧用换元证明一道不等式

题目:设 x y z=xyz,(x,y,z∈R~ ),求证:2(x~2 y~2 z~2)=3(xy yz zx) 9≥0(《数学通报》1991年第12期“数学问题解答”749题.文用三角函数知识来证明,其过程较繁琐,且涉及了一些三角恒等式和三角不等式,一般人不易看懂.本文用换元及应用第25届 IMO 试题便可证出.     

巧构三棱锥证明不等式

笔者受本刊94 —3期“巧构直角三角形解题”启示,今发现一些不等式证明题运用作图法也比较简单。故举一例: 已知x,y,z∈R~ ,求证(x~2 y~2-xy)~(1/2) (y~2 z~2-yz)~(1/2)>(x~2 z~2-xz)~(1/2)。 证法 作三棱锥(如图),使SA=x,SB=y,SC=z,∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°,     

一道第49届IMO赛题的类比

正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4.     

巧代换证明W.Janous不等式

设 x,y,z∈R~ ,求证:(y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0这个不等式就是 W.Janous 的猜测不等式,很多数学刊物上介绍了这一猜测的多种证明方法,这里笔者再给出一种更为简捷的证明方法.证明:设 x y=a,y z=b,z x=     

一道IMO预选题的两种证法

第39届IMO预选题的第11题：证明：《中等数学》1999年第5期给出了两种不同的妙证，事实上用均值不等式就能证明．证法1由①＋②＋③得：上述不等式都是在x＝y＝z＝1时取等号．　当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．证法2由①＋②＋③得：上述不等式都在x＝y＝z＝1时取等号．当且仅当x＝y＝z＝1时原不等式取等号．一道IMO预选题的两种证法@李来敏$重庆市武隆县中学!408500     

一道IMO预选题妙解及推广

第31届IMO有一道预选题为: 已知:x≥y≥z>0,x,y,z∈R。求证: x~2y/z y~2z/x z~2x/y≥x~2 y~2 z~2。 (1) 本文给出它的推广及证明。     

一个数学问题的推广

《数学通报》2002年11月1403号问题:“x,y,z∈R~+,且x~4+y~4+z~4=1,求(x~3/(1-x~8))+(y~3/(1-y~8))+(z~3/(1-z~8))的最小值”,笔者读后,受益匪浅,感受颇多,此问题     

2005年全国高中联赛加试第二题别解

2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故