一道最值题推广之别证

熊光汉老师将命题:x,y,z>0,且x y 2=1,求1/4 4/y 9/z的最小值推广为:设x_i∈R~ ,i=1,2…,n,且(sum from i=1 to n(x_i))=m,则sum from i=1 to n((i~2)/(x_i))     

利用导数巧解一道最值推广题

文[1]利用赫尔德不等式给出函数f（x）=α√sin x＋b√cos x,x∈（0,π/2）,α,b∈（0,＋∞）的最值问题的推广,美中不足的是赫尔德不等式本身的证明就很繁,其难度不低于该最值问题本身．本文利用新课标新增内容导数来求解,此法具有居高临下、结论深刻全面的优点,现介绍如下,供参考．     

一道最值题的推广

命题:若0O,1一尸>O,从而y>O,故犷与y必然同时(对同一个x值)取得最大值和最小位。因此可以先求。“的最值,然后再求夕的最值。一x么n二1之粼刃汤下I万1 X一4r卜一。锄X。山(定值, ·XO.刀十1项)等号当x。时成立,里清川时,即‘两边开n次方,(1一x。) n(1一xn) 护子(1一xn) nx(1一x”《成I)“‘’即x”(‘一”,n《7‘n()、万…     

一道最值题的推广

命题 设x,y,z>0,且x y z=1,求1/x 4/y 9/z的最小值。 这是1990年IMO日本代表队第一轮选拔赛的一道试题。本文将它推广为一般的形式。 推广 设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且     

一道函数最值题的推广

题目设a,b是正实数,求函数f（x）=a√sinx＋b√cosx在（0,π/2）上的最大值。     

一道常见题的巧证及推广

题目已知a1-b2+b1-a2＝1, 求证:a2+b2＝1.     

一道IMO预选题的巧证及其推广

原题（39届IMO预选题）设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明：x3/（1＋y）（1＋z）＋y3/（1＋z）（1＋x）＋z^3/（1＋x）（1＋y）≥3/4.（1）本题无论是组委会还是一些数学竞赛教材提供的解答,都无非是强化命题构造函数求导或者琴生不等式均值不等式联合使用．这些证法都是奥赛尖子才能问津,普通中学生看这解答都很吃力．其实本题用最基本的均值不等式便容易得解．     

一道最值题的新解法及其推广

题目若x,y,z∈(0, ∞),且4x 5y 8z=30,求u=8x~2 15y~2 48z~2的最小值.这道最值题常见于各种报刊,其解法也有很多种.本文将通过引入参数,利用算术—几何平均值不等式给出该题的一种新解法,并将问题作进一步的推广.     

一道最值题及其推广的向量解法

文[1]利用均值不等式给出一类最值问题的通解,并将该类问题作了进一步推广.本文通过构造合适的向量,给出该问题及其推广的一种更为简洁的求法.     

巧证一道复数题

题 已知△ABC的三个顶点A,B,C对应的复数分别是z_1,z_2,z_3若(z_2-z_1)/(z_3-z_1)     

一道集训题的巧证

(原证请参见本刊1994年第4期P18) 证 当x_i>1时,由算术几何平均值不等式得     

一道奥林匹克赛题的巧证

求证：是第五届国际奥林匹克数学竞赛的第五题．本刊92年第八期胡绍培老师介绍了该题的三种证法，下面我再给出该题的一个巧妙的证法：一道奥林匹克赛题的巧证@季刚祥$江苏省金湖县教师进修学校     

一道题的多种巧证

题目已知25cosA 5sinB tanC=0,且sin~2月—4cosAtanC=0,求证:tanC=25cosA.解法1:由题设条件得: 25cosA tanC=—5sinB, 25cosAtanC=(25)/4sin~2B.     

一道最值题的错解通解与推广

题　已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求　ax +by +cz的最大值。1　错解解　由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即　ax +by +cz≤ 5 ( )故　ax +by +cz的最大值为 5。错因　在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2　通解分析　该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y…     

一道最值题的奇思妙想

如何减少解题量,增加思维量,有效提高数学解题能力呢?下面就一道经典最值题的分析、求解为例,以供参考.     

一道最值题的分析

题目求函数f（x）=x＋x^-4（a〈x≤1）的最小值。 分析 本题函数的结构特征易产生应用均值不等式求解的思路,常会有以下解法：     

一道最值问题的推广

文[1]利用均值不等式给出一道最值问题的通解(法一),并将该问题作了进一步的推广;文[2]用向量法对该问题及其推广进行解答(法二).本文将应用空间几何知识和柯西不等式,给出该问题及其推广的另外两种解法(法三,法四). 文[1]的问题及其推广是: 问题 已知a,b,c,x, y,z 是实数,a2 b2 c2=1, x2 y2 z2 = 9 ,求ax by cz 的最大值. 问题推广 已知ai,bi(i =1,2,L,n)且∑an n n 2 = p, 2 i ∑b i = q ,求 aibi 的最大值. ∑ i=1 i=1 i=1 …     

一道多元函数最值题的变式及推广

正一、题目展示题目设x,y,z为正数,求xy+yz/x~2+y~2+z~2的最大值点评:本题是一道调研考试题,考查的是多元函数的最值问题.本题结构简洁、表达流畅,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法研究分析1:(从不等式角度来考虑)观察目标式的结构特征,容易想到用基本不等式来求最值.解法1:由基本不等式得x~2+1/y~2≥2(1/2)~(1/2)xy,     

巧解一个最值题

问题 复数z_1满足|z_1-3| |z_1 3|=10,而复数z使(z-z_1)/z-3)为纯虚数,求|z|的