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本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是 相似文献
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本文谈谈第26届IMO第5题与1997年CMO第4题的等价性。 题目1 (CMO1997-4)四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F,则P、E、F三点共线。 题目2 (IMO-26-5)⊙O过△ABC顶点A、C,且与AB、BC交于K、N(K与N不同),△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证: 相似文献
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第46届IMO第5题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
试题:给定凸四边形ABCD,BC=AD,且BC不平行于AD,设点E和F分别在边BC和AD的内部,满足BE=DF,直线AC和BD相交于点P,直线EF和BD相交于点Q,直线EF和AC相交于点尺.求证:当点E和F变动时,△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点.[第一段] 相似文献
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几合部分
1.设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q.证明:AP=AQ. 相似文献
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刘京培 《中学数学教学参考》2003,(12)
定理 在△ABC中 ,D、E、F和X、Y、Z分别为边BC、CA、AB上的中点和高的垂足 ,ZD与FX交于L ,ZE与FY交于M ,DY与XE交于N ,则L、M、N三点都在△ABC的欧拉线上 (图 1 ) .证明 :如图 2 ,设O、H分别为△ABC的外心和垂心 ,我们来证明L在OH上 ,设△ABC外接圆半径为R ,设直线ZC、FX交于P ,连结OF、HL、OL .因OF⊥AB ,PZ⊥AB ,OF∥PZ ,∠OFL =∠P ,F为Rt△AXB斜边AB的中点 ,FX =FB ,∠B =∠BXF =∠CXP ,∠P =∠PZF -∠ZFP =90°-2∠B .在△CPX中 ,应用正弦定理 .可算出PC =XCsin∠CXPsinP =CHcos∠HCX… 相似文献
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设P为正n边形A_1A_2…A_n外接圆上任意一点,R为这正n边形外接圆半径,则P到各顶点距离平方和为定值2nR~2,即 sum from i=1 to n PA_i~2=2nR~2 (1) 本文试对这一有趣的定值问题作适当引伸,得到一些更一般的结论。定理1 设正n边形A_1A_2…A_n的中心为O,半径为R,P是以O为圆心以r为半径的圆 相似文献
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原题(2006年中国数学奥林匹克)Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC-90°,求证:AE+AP=DD. 相似文献
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第一天(2006-01-12)一、实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0.求证:max1≤k≤n(a2k)≤3n∑in=-11(ai-ai+1)2.(朱华伟供题)二、正整数a1,a2,…,a2006(可以有相同的)使得aa12,aa23,…,aa22000065两两不相等.问:a1,a2,…,a2006中最少有多少个不同的数?(陈永高供题)三、正整数m、n、k满足mn=k2+k+3.证明:不定方程x2+11y2=4m和x2+11y2=4n中至少有一个有奇数解(x,y).(李伟固供题)第二天(2005-01-13)四、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90… 相似文献
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赵文娟 《数理天地(初中版)》2006,(10)
题如图1,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线,分别过点B、C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证AM/AX=cosBAC.(06年全国初数竞赛第13题)证明如图2,设AX与⊙O相交于点A_1,连结OB、OC、OA_1,OX.因为M为BC的中点, 相似文献
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性质1 设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉O)的焦点为F,相应于F的准线与x轴交于点Q,过Q斜率为k的直线l交椭圆于点A,B,着记FA,FB的斜率为k1,k2,则k1+k2=0,且k1k2=(1-e^2k^-2)^-1(其中e为椭圆的离心率). 相似文献
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粗在△ABC中,AB>AC,匕A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点尸,过尸作尸Q土AB,垂足为O。求证:2刁O=AB一AC。 (1989年全国高中数学联合竞赛试题第二试第一题) 证明一如图,作尸R土CA的延长线于R,连结尸B、尸C。‘:乙1=乙2,尸A公共,.’. Rt△尸O月丝Rt△PRA,.’. AO二AR,尸O二尸R。又乙3=匕4,:.Rt△尸QB丝Rt△尸RC,:’ BQ=CR,.’. AB~AF== AC十A刀,.’.刁B一AC=AO+_了月二竺J Q.、 证明二.如图,在QB上取QR=Q月,连结PR、PB和PC。 易知Rt△尸OR 丝Rt△尸OA,.’.尸R==尸只,艺3=乙1。在△尸AC和△Pl\)厅,朴,,… 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(21)
定理设边长依次为 a_1,a_2,…,a_k(k≥3)的 k 边形外切于圆,则证明:设 k 边形 A_1…A_k 切圆 O 于点 B_1,…,B_k,(A_iA_(i 1)切圆于 B_i,)且A_iA_(i 1)=a_i(A_(k 1)=A_k),A_iB_i=x_i(i=1,…,k),那么有a_i=x_i x_(i 1)(i=1,…,k,x_(k 1)=x_1),∑a_i=2∑x_i(以下略去求和限),以及 相似文献
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一、作半径造圆心角,与同弧上的圆周角相联系例1如图1,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于P,E为O上一点,AE=AC,DE交AB于F.求证:PF·PO=PA·PB.(1997年河北省中考题)分析PA·PB=PC·PD,欲证结论成立,只须证PF·PO=PC·PD,即只须证PF/PD=PC/PO.为此,只须证△PDF△POC。/P公用,…只须证上FDP一工COP.连结CO,”.’AE=AC,…/l=/2.用等角的补角相等获证.二、过圆心作弦的垂线,以便应用垂径定理例2如图2,AB是①O的弦,P是AB上一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=scm.求①O的半… 相似文献
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刘东辉 《中学数学研究(江西师大)》2009,(1):F0004-F0004
题目(2008年全国高中数学联赛江西省预赛题)AD是直角三角形ABC斜边BC上的高(AB〈AC),I1、I2分别是△ABD、△ACD的内心,△AI1,I2的外接圆⊙O分别交AB、AC于E、F,直线FE与CB的延长线交于点M.求证:I1,I2分别是△ODM的内心和旁心. 相似文献
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题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献