谈谈高中数学解题中的“以退为进”思想

著名数学家华罗庚指出:“善于‘退’,足够的‘退’,‘退’到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.”又云:“先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去.”这就是以退为进的思想.这种思想也是我们解证数学问题时的唯物辩证思想的一种体现.一、从抽象退到具体“抽象”是透过事物现象,深入内部,抽取事物本质的过程的一种认识方法.“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来,从而更具体的理解概念的一种认识方法,抽象与具体是对立的统一.高度的抽象是数学的一个基本特点,要解决数学问题或解数学题,有…     

“退”——让数学课堂教学如此自然

著名数学家华罗庚说过:善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个决窍.其实,优质、高效的数学课堂教学又何尝不是这样?!     

为进而退,退中悟理,悟理而进——解应用题的一种策略

“退”是一种重要的解应用题的策略。解某些数学题,常常需要“退”,“退”是为了“进”——解题。著名数学家华罗庚指出:“善于‘退’足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀巧!”(引自《数学归纳法》一书)而解题是数学学习的重要部分,可见“退”这种思想方法的重要性了。用“退”的思想来解题,应当从小学低年级就进行渗透。但有些     

以退为进——处理课堂教学意外的一种有效策略

著名数学家华罗庚指出:"善于‘退',足够地‘退',‘退'到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍."又说:"先足够地退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去."这就是以退为进的思想,这种思想也是我们处理课堂教学意外的有效策略之一.     

“以退为进”高考题解答策略探究——以新高考Ⅰ卷第12题的解答为例

“以退为进”是十分重要的数学解题策略，正如我国著名数学家华罗庚教授所说的“复杂的问题要善于‘退’,足够的‘退’,‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.”“先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去.”充分诠释了“以退为进”的解题策略.2022年新高考Ⅰ卷第12题是一道以抽象函数为载体的选择压轴题，主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、导数等概念及它们之间联系，该试题背景新颖，抽象程度高，综合性强，难度大，对数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养的要求较高.因此，“以退为进”策略解答该高考题，定会呈现不一样的精彩.     

浅谈数学解题中的“退”

从未知到已知,这是进,也是我们解题的目的,然而,在很多问题的解决过程中,为了达到“进”的目的,而不得不“退”下来.华罗庚曾说过:“善于‘退’足够地‘退’,‘退’到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个决窍.”以退求进是解决数学问题的辩证思维,是研究问题的一般方法,本文拟从几方面来浅述以退求进这种辩证思维在解题中的应用.     

浅谈以退为进的数学思想

我国著名数学家华罗庚曾经说过:“要善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到原始而又不失重要性的地方,这是学好数学的一个诀窍.”对一个数学问题的研究,我们可采用:从研究全体退到研究部分;从研究复杂退到研究简单,从研究一般退而研究特殊,实现退中求进,将从部分、简单、特殊背景下研究所得结论推广到全体、复杂、     

例谈“以退为进”的解题策略

著名数学家华罗庚指出:"善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍"。这段话给我们以深刻的启示:在数学解题中,我们应注意以退为进,合理转化,"退一步海阔天空",抓住问题的本质,以退为进,退到我们能看清问题的地方。一、以退为进,由"抽象"向"具体"转化高度抽象是数学的一个基本特征,有的数学问题比较抽象,不易发现其内在的规律和联系,因而往往要从"抽象"退到"具体"的几何图像上来考虑,使问题更易理解、更好解决。     

避实击虚 以退为进

我国著名数学家华罗庚先生十分赞赏“以退为进”的解题策略,他指出:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍!”有的问题不易直接解决时,可将问题“退”到特殊情况(或“极端”情况)来研究,从中发现规律或受到启发,从而找到解题途径.下面举例说明.     

“退”到最原始而不失去重要的地方——一节函数复习课的教学片段及其反思

著名数学家华罗庚说过：“善于‘退’,足够地‘退’,退到最原始而不失去重要的地方,是学好数学的一个诀窍．”这里所谓的“退”,当然不是逃跑,而是养精蓄锐、蓄势待发,是在为“进”寻求途径,即“以退为进”．它的实质是借助转化的数学思想,把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,以便看清“庐山真面目”．笔者检索发现这方面的文章多以例题为媒介,以归纳总结为主要形式,将其分类罗列．那么,在课堂教学过程中到底应该如何渗透,使学生由“学退”达到“会退”的目的呢？下面以笔者在函数复习课的一个教学片断为例,谈谈这种解题策略在教学过程中是如何落实的．     

“以退求进”巧解题数学解题策略谈

“以退求进”是一种数学解题策略．即运用联系转化思想,将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法的地步,再通过后退后相关问题的求解推知原问题的解法．华罗庚教授曾指出：“善于退,足够地退,退到最原始而不失重要性的地方,退到我们容易看清问题的地方,是学好数学的一个诀窍”,“以退求进”策略用于数学解题常有如下几种模式．     

例谈“以退求进”策略在解题中的应用

正著名数学家华罗庚说过:"复杂的问题要善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍."据此极易推知,"以退求进"是一个重要的解题策略,就高中数学解题而言,其价值体现在于:如果我们不能马上解决的所面临的问题,那么可以或者从一般到特殊、或者从抽象到具体、或者从复杂到简单、或者从整体退到部分、或者从较强的结论退到较弱的结论,总之退到一个能够解决的问题上来,     

“退中求进”——特例解题方法探究

华罗庚教授说过：就解题思路的发现来说,“退”比“进”更重要,解题时,先足够的退,退到我们最易看清楚问题的地方,认透了,钻深了,然后再上去即可。他认为,善于“退”,足够地“退”,是学好数学的一个诀窍．     

退到妙处好解题

华罗庚教授曾说过：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个决窍!”在小学数学中，当遇到一个比较复杂的问题而无从下手时，不妨将问题“退”到最简单的情况，使问题的难度降低，从而找到解题的思路和方法。例1摇有5个大小不等的中心有孔的圆盘，按次序套在木桩上。小圆盘放在比它大的圆盘上，从而构成一个圆盘塔。现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上，每次只准搬动一个圆盘，并且不允许大圆盘放在小圆盘之上。假定还有第三个木桩作临时存放圆盘之用，问把这5个圆盘搬到第二个木桩上至少需要搬…     

运用特殊化方法解题示例

运用特殊化方法解题的策略是一种“退”的策略。所谓“退”,可以从一般退到特殊,多数退到少数,空间退到平面,抽象退到具体……正如华罗庚先生所说:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方。把简单的、特殊的问题搞清楚了,并从这些简单的问题的解决中,或者获得解题思路,或者提示解题方向,或者发现一般问题的结论,或者得到化归为简单问题的途径,从而再‘进’到一般性问题上来。”     

以“退”为进解题的三种策略

著名数学家华罗庚说过:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.对于一般性的数学问题,如果在解答过程中感到“进”有困难,或无路可“进”时,我们不妨运用“退”的思想,从一般“退”到特殊,从整体“退”到局部,从空间“退”到平面,从不等“退”到相等,总之想方设法尽可能地“退”到一个能解决问题的平台上,这样就容易激起思维的灵感,问题也随即迎刃而解.下面结合具体问题谈谈这一解题思想的应用.     

例谈“1”在小学数学解题中的妙用

<正>华罗庚曾说:"善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。"从一般退到特殊,从多维退到低维,从空间退到平面,从抽象退到具体……只要不影响问题的求解,对于许多复杂的问题,以退求进是一种重要的解题思想。在实际教学过程中,有很多的知识点,如果我们巧设"退路",往往会有另一番收获。根据多年的教学实践,笔者认为妙用"1"作"辅助"或"退路",不失为一种渗透数学思想、提升学生思维的有效策略。一、巧补"1",帮助学生理解变化规律在学习了小数的乘除法之后,根据乘数(除数)的大小,判断积(商)与被乘数(被除数)的大小,是教学中常见的题     

退进结合——数学教学中的航标

华罗庚教授在数学归纳法中强调：“要勇于退,足够地退,退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍。”在数学学习中,学生的认知起点常常超越教材的逻辑起点,他们已有的认知经验、思维方式也时常出乎我们的意料。面对这样的情况,教师就必须善于退,主动地退,只有这样,学生才能更好地构建新知,教学才能顺利地达到预设的结果。     

例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用

<正>美国心理学家弗里德曼做的"登门槛"心理实验表明:"先得寸再进尺,往往能实现目标。"华罗庚也说过:"复杂的问题要善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。"这就是"以退为进"的策略,在数学学习中常常用到。一、退到思维起点,变繁为简,构建数学模型数学教学是思维活动的教学。要使学生的思维得到有效发展,教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点,使他们在学习中建构数学模型,逐渐逼近数学的本     

以退求进解题的新途径

“欲进则退，以退求进”的辩证策略．是人类智慧的结晶，也是数学解题的重要方法之一，其核心思想为：“先足够地退到我们所最容易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去”(华罗庚语)．“退”的方式很多，如从一般退到特殊、从复杂退到简单、从抽象退到具体、从高维退到低维等，本文例示如何从数学习题结构自身出发探求“退”的新途径，从而更好地为“进”打开突破口．