赏析一道平民化的压轴题——对2007年江苏卷21题的评析

题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数     

对一道高考试题的商榷和另解

2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.     

一个值得质疑的答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2 π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x) f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

一个值得质疑答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2+π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B中的一种错误求法

<正>1从一道考试题说起《全品新题小练习(2014数学·理科)》(开明出版社)P13有这样一道题:(2013·哈尔滨三中期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π/2),满足f(x)=-f(x+/π2),f(0)=1/2,f'(0)<0,则g(x)=2cos(ωx+φ)在区间[0,π/2]上的最大值与     

解读2009年高考福建理科卷第10题

(2009年高考福建理科卷第10题)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-b/2a对称,据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程     

一道高考题的本质揭示与教学启示

2012年高考数学四川卷理科第12题:设函数f(x)=2x-cosx,{an}是公差为π/8的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5=().A.0B.1/16π2C.1/8π2D.13/16π21试题概况笔者最初是在《数学通迅》的网页上见到此题的,有老师在该杂志的网页论坛上寻问     

若干初等函数方程之求解

本文给出几个常见的初等函数方程之求解,为讨论方便起见,始终假定所讨论的函数在其定义域上连续。命题1(线性函数方程)对于任何实数x,y,有f(x y)=f(x) f(y)当且仅当存在实数a,使得f(x)=ax。证明:只须证明“仅当”部分(以下的所有命题都是这样)。首先由f(0)=f(0 0)=2f(0)得f(0)=0,对于任何实数x,f(2x)=f(x x)=2f(x),用数学归纳法不难证明对于任何实数x,任何自然数n有f(nx)=nx,而且f(x)=f(n·x/n)=nf(x/n),即f(x/n)=     

分离参数与分类讨论——有感于2013年高考数学江苏卷20题

<正>原题设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解(1)略.(2)∵g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,∴g'(x)=ex-a≥0,即a≤ex对x∈     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]     

函数图象的对称轴和最小正周期

[定理1] 设函数f(x)(x∈R)以w为最小正周期,它的图象有对称轴x=c,则存在实数a、b∈(0,w],a≠b,使得x=a,x=b也是它的图象的对称轴。证:对实数c和正数w,总可以找到一个整数k,使得kw<0≤(k 1)w,令a=-kw c,则有a∈(0,w]。∵x=c是对称轴,∴对任意x∈R,有f(c x)≡f(c-x),又w是周期,∴f(kw x)≡f(x)(k∈Z)。从而对任意x∈R,f(a x)=f(-kw c x)=f(c x)=f(c-x)=f(kw a-x)=f(a-x)。     

题库(六)

1.已知a≥1/2,函数f(x)=-a2x2+ax+c.(1)证明:对任意x∈[0,1],f(x)≤1的充要条件是c≤3/4;(2)已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明:|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤a2-a.注　此题考查三个"二次"之间关系的本质认识,对参数的灵活处理能力.不等式的转换、化归的能力.     

一场关于函数值域的争论

争论起源于分歧和疑问。请看下题: 已知a为实数,对于一切实数x,函数f(x)=x~2-4ax 2a 6的值域为[0, ∞),求函数g(a)=2-a|a 3|的值域。     

从一道竞赛题谈起

题(匈牙利数学奥林匹克赛试题)设a、b、c为实数,如果|x|≤1时,有不等式|ax~2 bx c|≤1,试证当|x|≤1时,恒有|2ax b|≤4.证明 设f(x)=ax~2 bx c,a≠0,当|x|≤1时,f(x)的最大值、最小值只可能为f(1)、f(-1)或     

新课程高考试卷上一道选择题的多种解法

设a>0,f(x)=ax2+bx=c.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,π/4],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ).A.[0,1/a] B.[0,1/2a] C.[0,|b/2a|] D[0,|b-1/2a|]这是2003年高考新课程试卷中的一道试题,该题以考查直线的倾斜角、斜率,抛物线的有关性质、切线方程,及新增内容——导数的概念、多项式函数的导数等基础知识为主干内容,起     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

由一道错题引出的一节探究性学习课

题目(一道函数不等式的综合题):是否存在实数a,b,c,使二次函数f(x)=ax~2+bx+c满足f(-1)=0,且对一切实数x∈R,都有     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.