一个新的三角恒等式

设a，b，c，R，r分别为三角形的三边长、外援圆及内切圆增径，则有［‘j最近，本人又证得以下不等式（证明从略）：比较上述两个不等式，作者发现一个新的三角恒等式．定理若a，b，c，R，厂分别为三角形的三边长、外接圆及内切圆半径，则证明根据三角形中的恒等式＊］知原式等价于将此式左端展开，整理可得所以，定理成立．一个新的三角恒等式@宋庆$江西省永修县一中!3303041宋庆。若干几何不等式的讨论.九江师专学报1998,6. 2R.A约翰逊著,单汉译.近代欧氏几何学.上海教育出版社,1999,8(第1版).…     

三角形内角的三角恒等式

在三角形 ABC 中,A、B、C 是它的三个内角,关于 A、B、C 的三角函数恒等式,我们称它为三角形内角的三角恒等式。三角形内角的三角恒等式本质上是一种有限制条件的三角恒等式,其限制条件就是 A、B、C均为正角,且 A+B+C=180°.在证明这类恒等式时,必须注意灵活运用这个条件。关于三角形内角的三角恒等式题目很     

正弦定理、余弦定理在三角变换中的应用

正弦定理、余弦定理是应用极为广泛的两个定理．它们将三角形的边和角有机地联系起来．为求与三角形有关的量(如面积、外接圆半径、内切圆半径)提供了理论依据,同时也是判定三角形形状、证明与三角形有关的三角恒等式的重要工具．     

两个三角恒等式的几何证法

笔者曾在文[1]建立过如下两个三角恒等式：cosa＋cos（12O”－a）＋cos（12o”＋a）一0,sina－sin（1200－a）＋sin（12O“＋a）一0,其中a为任意角．下面笔者再给出这两个三角恒等式的一个统一的几种证法．形,0（0,O）既是外心又是重心,因此两个三角恒等式的几何证法@田彦武$宁夏固原一中数学教研室!756000 @申笃轩$宁夏隆德中学!7563001田彦武.一个三角恒等式的几何解释及其应用.中学数学月刊,1999,5.     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

谈面积法在竞赛问题中的运用

面积法主要是指运用三角形的面积公式或等积变形的性质求解或证明有关面积的值、比、恒等式以及有关线段的长、比、恒等式等几何问题。面积法富有启发性、趣味性、简洁性,是数学竞赛的必考题型之一.早在三千多年前,著名的勾股定理就是用面积法证明的,足以可见它在数学解题中的地位.因此,我们有必要加深对这种方法的理解与认识. 基础知识的介绍 灵活准确地运用面积法必须掌握以下知识. (一)三角形的面积公式 1.一般三角形的面积公式 公式 1 S△=1ah/2(h是边a上的高)公式2(a、b、c是△ABC三边,p=a+b+c/2),此公式又称作海     

正弦、余弦定理在三角变换中的应用

正弦定理和余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角函数与几何产生联系.为求与三角形有关的量:如面积、外接圆半径、内切圆半径等提供了理论依据,也是判定三角形形状、证明与三角形有关的三角恒等式的重要依据.正弦、余弦定理是沟通三角形中有关边与角之间的关系的重要定理,应用时要注意对一些变式进行灵活地应用.如正弦定理sianA=bsinB=sincC(R为三角形ABC的外接圆半径),有三种变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.利用这些公…     

关于三角形中三角恒等式的一个注记

《数学教学通讯》1996年第1期《用联系的观点统一处理一类三角恒等式》一文举例说明了三角形中一些三角恒等式之间的联系,读后颇受启发.但该文对三角形中三角恒等式之间的联系尚未充分地发掘.本短文发掘三角形中三角恒等式之间的另一种联系,作为一个注记,供读者参考.设 A、B、C 是△ABC 的三个内角,则不难知     

等腰三角形判定定理的其他证法

在几何学习中，理解和掌握几何定理的证明方法是极为重要的。这是因为几何定理的证明方法具有典型性和代表性．要理解和掌握几何命题的证明方法，首先要理解和掌握几何定理的证明方法．而掌握了几何定理的证明方法，就从根本上掌握了几何命题的证明方法．因此，在几何学习中，一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．关于等腰三角形判定定理的证明，课本上的证明方法是利用全等三角形给出证明．但在已知图形中，并没有以ＡＢ、ＡＣ为一对对应边的全等三角形，因此要先作适当的辅助线（即作角平分线ＡＤ，如图１），把西ＡＢＣ分成两个三角…     

三角函数中条件等式的证明

三角函数式的证明可分为两大部分：三角恒等式的证明和三角条件等式的证明．下面就三角条件等式的证明举例说明．     

等腰三角形判定定理的其他证法

在几何学习中,研究和掌握几何定理的各种证法具有非常重要的意义．这是因为几何定理的证法一般都具有典型性和代表性．只要我们理解和掌握了几何定理的各种证法,就可以从根本上掌握几何命题的证明方法．因此,在几何学习中,应十分重视研究和掌握几何定理的证明方法．关于等腰三角形判定定理的证明,课本上的证法是：作顶角A的平分线AD,把西ABC分成两个三角形ADB和ADC;然后证明这两个三角形全等;最后根据全等三角形的性质证得AB＝AC．这就是先通过作适当的辅助线,把等腰三角形问题转化为全等三角形问题;然后应用全等三角形的…     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法，然而有许多反三角恒等式蕴含着丰富的几何直观，此时，若能由数思形，数形结合，便可开辟解题新径，现举例如下。     

正、余弦定理及其应用

正、余弦定理及其应用的考查主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何中的空间角以及解析几何中有关角的计算等问题.考题常以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合三角变换问题考查正弦定理、余弦定理及应用.     

关于四面体二面角平分面面积的不等式

本文建立了一个关于四面体二面角的三角恒等式，进而获得两个关于四面体二面角平分面面积的几何不等式及其推论。     

“新中学三角体系”概述及其进一步思考

"几何先行,三角跟进",中学数学教学中,先对三角形做定性研究,引入相似三角形后,注重定量研究,先定性后定量的研究模式符合人们认知事物的一般规律.但正如张院士所说,这样的安排有三个遗憾:几何孤军奋战,三角壮志未酬,代数无人问津(具体可以参阅文献[1]).张院士提出的"重构中学三角体系"对中学数学教育具有重要的意义.基于此,对其又进一步的思考——以正弦定理为工具,通过代数验证三角形全等判定法则.即在几何与三角的关系中,充分发挥代数的作用,使三角壮志得酬.     

等积变换的应用

对一类平几命题的证明,如果充分利用图形的面积间的关系式代换,再通过代数方法证得几何命题的结论,我们称之为等积变换.本文就初中阶段的等积变换加以简述.一同底等高的三角形面积相等根据这一性质很容易得到:同底的两个三角     

中线平分三角形面积的拓展与思考

<正>三角形的中线是人教版八年级上册第一章《三角形》第二课时的知识点.中线的特殊魅力在于它可以将三角形分成面积相等的两部分,下面将对平分三角形面积的问题进行拓展和思考.在数学教学,尤其是在几何教学中,充分发掘基本图形,利用基本性质或者基本结论对基本图形进行变式、深究,学生将在几何解题和证明中站得高,望得远.     

例谈正、余弦定理和其他知识的交汇

正、余弦定理是高中数学的一个重要内容之一,其主要功能是进行边角转换,将三角形的边和角有机地联系起来,为求与三角形有关的量（如面积、外接圆半径、内切圆半径）提供了理论依据;也是判定三角形形状、证明与三角形有关的三角恒等式的重要工具;     

一个面积恒等式及其应用

<正>三角形塞瓦线背景下有很多有趣的结论.笔者在学习、研究的过程中,关注到一个面积恒等式,利用该面积恒等式简捷地证明或解答了一组几何竞赛题,为一类几何竞赛题增添了一道亮丽的风景线.命题 如图1所示,点P是△ABC内一点,直线AP,BP,CP分别交线段BC,CA,AB于点D,E,F,     

arctan1＋arctan2＋arctan3=π的又一几何解释

本通过构造等腰直角三角形，给出反三角恒等式：arctan1＋arctan2＋arctan3=π的一种新的几何解释．