一个条件代数不等式的拓广

加拿大一道IMO培训题为:对满足x2 y2 z2=1的正数x,y,z,求(x)/(1-x2) (y)/(1-y2) (z)/(1-z2)的最小值.其结果为(33)/(2),可拓广为:     

∑(a)/(ra)≥23的再加强及变换

文[1]建立了如下一个几何不等式: 设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则 ∑(a)/(ra)≥23. (1) 文[2]对不等式(1)加强为: ∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2). (2) 其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同. 本文将(2)加强为: ∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R). (3) 证明:设ABC的半周长为s,由 ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c) 和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知 ∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)] =(2(4R+r))/(s). 由O.kooi不等式 2s2(2R-r)≤R(4R+r)2. 可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R). 故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R) =24-(2r)/(R). 则不等式(3)成立. 下面证明(3)比(2)强. 显然,仅需证 4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2) 成立. 将上式平方整理得R≥2r. 由Euler不等式可知,上式成立. 这说明(3)强于(2).     

一个不等式的改进

若a1,a2,a3,…,an均为正数,则有: (1)/(a1) (2)/(a1 a2) (3)/(a1 a2 a3) … (n)/(a1 a2 a3 … an)＜4·((1)/(a1) (1)/(a2) (1)/(a3) … (1)/(an)).     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

分角线的一个定理及其应用

一、定理 在△ABC中,已知a、b、c是角A、B、C所对的边,ta是角A的平分线的长。求证: 1/b+1/c=(2cos1/2A)/(ta) 证明:如图1,过D作AC和AB的平分线分别交AB和AC于E、F, 则(DE)/(CA)=(BD)/(BC); (DF)/(AB)=(CD)/(CB). (DE)/(CA)+(DF)/(AB)=(BD+CD)/(CB)=1.     

一道祖杯赛题的简解

第九届初中《祖冲之杯）数学邀请赛第三题是: 解方程:(13x-x~2)/(x 1)(x (13-x)/(x 1))=42. 原参考解答是通过换元,构造辅助方程求解的,运算较繁.现给出一个简捷解法. 解 原方程即为(13x-x~2)/(x 1)×(x~2 13)/(x 1)=42.     

三角形中的有关性质在空间的推广

有这么一道题: 已知:正三棱锥P-ABC,O为底面△ABC的中心,过O的平面α分别与侧棱PA,PB,PC所在射线交于Q,R,S, 求证:(1)/(PQ) (1)/(PR) (1)/(PS)=(3)/(PA). 初看起来,证明它并不那么简单,但由三棱锥就联想到三角形的情形.     

用无穷递缩等比数列求和公式再证一道竞赛题

文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明了这道竞赛题: 设a＞1,b＞1,求证:(a2)/(b-1) (b2)/(a-1)≥8. (第26届独联体数学奥林匹克试题)     

数学奥林匹克初中训练题（116）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.若x-(1)/(x)＝5,则(x10+x6+x4+1)/(x10+x8+x2+1)的值为(). (A)(47)/(42) (B)(42)/(47) (C)(45)/(49) (D)(49)/(45)     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

1994年小学数学奥林匹克总决赛试题精解

第一试(A卷) 题1:有四个分数(12)/(25)、(11)/(24)、(19)/(39)、(11/29),其中最大的分数与最小的分数的差等于________。 解:经比较,题中的四个分数按从小到大的顺序排列是(11)/(29)<(11)/(24)<(12)/(25)<(19)/(39)。很明显,最大的分数是(19)/(39),最小的分数是(11)/(29),(19)/(39)-(11/29)=(122)/(1131)。故此题的解是(122)/(1131)。     

巧用三角命题证明代数等式

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。     

双曲线渐近线方程统一形式的妙用

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为     

习作二则

一一个难题不等式的加强与简证已知x、y、z∈R~ ,证明 (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1) 此题原载于加拿大的《数学难题》杂志612,是W. Janoux猜想,其证法散见于国内许多数学杂志,我们将它在指数方面加强得到: (y~n-x~n)/(z x) (z~n-y~n)/(x y) (x~n-z~n)/(y z)≥0(其中n ∈     

一道赛题错解的原由

2005年全国高中数学联赛加试第二大题为: 　　设正数a,b,c,x,y,z满足cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.……     

等差数列的定比分项公式

定理:设 a_l、a_m、a_n 为等差数列中的三项,仅 a_1与a_m,a_m 与 a_n 的项距差之比(l-m)/(m-n)=λ,则a_m=(a_l λa_n)/(1 λ)(λ≠-1) (1)证明:设该等差数列的首次为 a_1,公差为 d,则a_l=a_1 (l-1)d (1)a_m=a_1 (m-1)d (2)a_n=a_1 (n-1)d (3)由(1)、(2)得:d=(a_l-a_m)/(l-m);由(2)、(3)得:d=(a_m-a_n)/(m-n).     

数学练习题(十八)解答

103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π·     

陈题新解一例

题:求函数 y=(x~2-x 1)/(x~2 x 1)的值域. 很多复习资料上都有这道题,一般都是用根的判别式法来解.仔细推敲题型结构,不难发现一些新的解法.解法一:y=(x~2 x 1-2x)/(x~2 x 1)=1-(2x)/(x~2 x 1)     

IMO42—2的推广的推广

第42届国数学奥林匹克试题第2题是:对所有正实数a,b,c,证明(a)/(a2+8bc)+(b)/(b2+8ca)+(c)/(c2+8ab)≥1.文[1]采用文[3][4]的方法给出其推广为:若a,b,c∈R+,λ≥8,则(a)/(a2+λbc)+(b)/(b2+λca)+(c)/(c2+λab)≥(3)/(1+λ)(1).文[2]给出了(1)式的简证,本文进一步把(1)式推广为更一般的形式:     

分式

基础篇 课时一分式的概念诊断练习一、填空题1.当x 时,分式(2x-1)/(-x2)有意义.2.当x= 时,分式(x-1)/(x2+1)的值为零.3.当x 时,分式(x+2)/(x2+2)的值为非负数.4.若x/(|x|)=-1,则x.二、选择题1.分式(-x-3)/(y2-2)变形后,正确的是()