2022年新高考数学Ⅱ卷第12题探究

<正>2022年新高考数学Ⅱ卷第12题是一道结构对称优美、解法灵活多样、有探究价值的条件不等式问题.该题作为一道多项选择题,极富数学思维价值和数学探究价值.因此,本文拟对这个问题从思路分析、推广等角度作一些探究.题目 (多项选择题):若实数x,y满足x²+y²-xy=1,则( ).A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x²+y²≤2 D.x²+y²≥1一、思路分析思路1:(特殊值法)由于x,y成轮换对称,因此可令x=y,     

课堂——学生的舞台

“指导—自主学习”教学法主要是教师指导下学生自主学习,自主学习的本质是独立学习.独立学习的特点:一是超前性;二是建构性.笔者就一节“直线与圆的位置关系”的习题课,按照“指导—自主学习”教学方法,师生相互合作,相互作用,相互影响的过程,记录如下.1课前准备问题已知O为坐标原点,圆x2+y2+x?6y+c=0与直线x+2y?3=0交于P、Q两点.问是否存在常数c,使以PQ为直径的圆恰好过原点?思考①怎样利用以PQ为直径的圆恰好过原点这个条件?(启迪思维)②你会用几种方法解决此题?③你认为哪种方法最佳?(方法探究)请同学把思考过程写在学习卡上,以便上…     

由一则探究案例引发的思考

1　案例又到了第二课堂活动时间 ,我给出了下面这道题让同学们解答、探究 .题目　给定双曲线x2 - y22 =1,过点P( 1,1)能否作直线l ,使l与此双曲线交于Q1 、Q2 两点 ,且点P是线段Q1 Q2 的中点 ?不一会儿 ,S1 同学给出了这样的解答 :假设存在符合题意的直线l ,设Q1 (x1 ,y1 )、Q2 (x1 ,y2 ) ,则有x21 - y21 2 =1　① ,x22 - y222 =1　② ,① -②得 :(x1 +x2 ) (x1 -x2 ) =12 ( y1 +y2 ) ( y1 -y2 ) ,显然x1 -x2 ≠ 0 ,y1 + y2 ≠ 0 ,所以有 y1 - y2x1 -x2=2 (x1 +x2 )y1 +y2,由P( 1,1)为线段Q1 Q2 的中点 ,有x1+x2 =2 ,y1 + y2 =2 ,则k =…     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

一道高考题的另解

题 (Z009安徽理科20题第一小题)点P(x0,y0)在椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上,x0=acos,y0=bsinβ(0＜β＜π/2).直线l2与直线l1:x0/a2x+y0/b2=1垂直,O为坐标原点.直线OP的倾斜角为a,直线l2的倾斜角为γ.     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

因势利导 培养思维能力——记一堂习题课

在一堂本以为平淡的习题课上,笔者让学生做这样的题: 题1 设直线l1:2x+3y+8=0 (1)和直线l2:x-y-8=0 (2),求过l1与l2的交点和原点的直线l的方程. 很多学生解由(1),(2)组成的方程组得交点坐标(16/5,-24/5),再由两点式得直线l的方程为3x+2y=0.     

求解多变量函数最值问题“四部曲”

对于多变量函数的最值问题,学生常感到无从下手,本文拟就这类问题的解题思路进行探究: 例1 已知实数x,y满足x2+y/4=1,求x2+y的最值. 解析 第一步,探究变量关系 变量关系不明显时,需要首先探究两个(或多个)变量间的关系,列出等式或不等式. 本题中变量x,y满足等式x2+y/4=1. 第二步,减少变量个数 变量个数较多,正是很多学生感到无从下手的重要因素,为此要想办法减少变量的个数.     

发现x~3+y~3≠(x+y)~3后

今天在做作业时,我遇到一道题: 先化简x3-x2y+xy2+yx2-y2x+y3,再求值,其中x=11/2,y=-11/3 乍一看,这题不难,于是我作出了如下解答．解:∵原式=x3-(x2y-yx2)+(xy2-y2x)+y3 =x3-0+0+y3 =x3+y3 =(x+y)3 当x=11/2,y=-11/3时,有 (?)．可是我一验算,发现做错了,究竟是哪儿错了呢?难道x3+y3≠(x+y)3? 于是我从(x+y)3开始研究,发现 (x+y)3 =(x+y)(x+y)(x+y) =(x2+xy+yx+y2)(x+y)     

三个不等式的统一研究

题1(《数学通报》2007年1月1651号问题)已知x、y、z∈R+,n∈N,求证:x/nx+y+z+y/x+ny+z+z/x+y+nz≤3/n+2(1).     

一类含绝对值函数值域的求法

在高中数学<函数>一章中涉及到求下列函数的值域:(1)y=| x-2 |;(2)y=| x2+1 |;(3)y=|x+2|+| 2x+3|;(4)y=|x1-x/x2-1|.许多学生都不假思索地说是非负实数集.理由是:绝对值是非负数,非负数的和也是非负数.可是只答对了第一题,其余都错了,错误的原因在于忽视了:     

一道课本例题的创新性拓展——以课本例题为载体开展探究性学习教学案例

高中数学第二册(上)第117页例2“:点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.”这道题,看上去很简单,如果孤立静止地解答它,那么再好也不过是解决了一个问题.但是如果对其细心探究,可以发现这道题蕴涵着丰富的探究性学习的内容.1探究一题多解,串点成线解法一直接法求轨.由已知,点M属于集合P={M MF=x+5?1}.设点M的坐标为(x,y),则有(x?4)2+y2=x+5?1.若M在l左边,则M到F的距离必大于M到l的距离,即MF>x+5>x+5?1,不合题意.所以M只能在l右边,∴x>?5,故有(x?4)2+y2=(x+5)?1.化简得所求方程为:y2=16x.解法二定义法求轨.…     

第46届IMO第三题的加强

第46届IMO(2005年)第三题是: 题1设x、y、z ＞0,且xyz≥1.证明: ∑x5-x2/x5+y2≥0, ① 其中,∑表示轮换对称和. 式①的等价形式为 ∑x2+y2+z2/x5+y2+z2≤3. 此不等式有很多证法,本文不再赘述. 易知,x2+y2+z2≥33√x2y2z2 ≥3. 自然的想法是将题1中的...     

一道高中数学联赛加试题之"源"与再推广

一、赛题与"源" 赛题:设正数α,b,c,x,y,z满足cy+bz=α,αz+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=x2/1+x+y2/1+y+z2/1+z的最小值.     

请让孩子知道为什么

今天看到读初二的小侄女做这样一道题:(x+y+z)2=___。她几乎不假思考就写出了以下解答:(x+y+z)2=((x+y)+z)2=(x+y)2+2(x+y)z+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx看到这个解答我心里很高兴,但身为数学老师的我忽然意识到有什么地方不太对劲:为什么这么快?于是,我将这道题稍加变化,给小侄女出了另一道题:(x+y-z)2=___。     

2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1):设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2的最小值.若以不等式方式呈现就是:设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证:(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥4/3.     

莫要忽视公式成立的条件

<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)^(1/2)=a(1/2)=a^(1/2)/b(1/2)/b^(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的.     

代数推理搭台 算理算法谱曲 数学思想唱戏

<正>1试题呈现(连云港中考第16题)若W=5x²-4xy+y²-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为______。2解法探究思路1整体思想+配方法把2x—y看作一个整体,利用完全平方式进行配方。解法1:W=4x²-4xy+y²+4x^-2y+1+x²+4x+2=(2x^-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)²-2=[(2x-y)+1]²+(x+2)²-2,显然当(x+2)²=0且[(2x^-y)+1]²=0,即x=-2,y=-3时,W_min=—2。思路2主元思想+配方法     

质疑背后的奥秘

<正>在学完《单项式乘以多项式》后,作为知识的巩固和应用,现行华东师大版八年级数学上册配套使用的练习册第29页有这样一道习题(第8题):如果3x2y(A+2y-3y2)=15x2y+6x2y2+B,那么多项式A=,B=.在课堂交流中引发学生质疑,激发学生完成了一次探究之旅.师:你是如何解答的呢?学生甲:等式整理为:3Ax2y+6x2y2-9x2y3=     

巧用配方求二元二次函数条件最值(高一、高二、高三)

题若3x2-xy+3y2=20,则8x2+23y2的最大值是__.(2002年“希望杯”培训题) 命题者的巧妙解法是引入参数(t):因为 xy=tx·y/t≤1/2(t2x2+(y2/t2))