奇妙的三角平方差公式

<正>三角中有两个结论:(1)sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;(2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.这两个结论的结构与平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y2-y²的结构相似,体现了数学的形式美,所以不妨称之为"三角平方差公式".公式的证明是很容易的,通过角的和差公式直接展开来推导即可.此公式不仅形式     

两个显然成立的数列恒等式的应用

在数学的学习过程中我们经常能够感受得到:一些平凡的、显然的结论如果能够灵活地加以应用,将会取得非常惊人的效果.下面我们仅以数列中的两个熟知的恒等式为例,领同学们走进数学的奇妙世界.如下是数列的两个恒等式:,(Ⅰ)an+k=(an+k-an+k-1)+(an+k-1-an+k-2)+…+(ak+1-ak)+ak;特别地,当k=0时有(Ⅰ)an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1;这两个恒等式再平凡不过了,而且在教科书中推导等差,等比数列通项时我们已经用到了这两个恒等式.下面通过一些问题的求解来体会这两个极平凡的恒等式的灵活多样的运用.两个显然成立的数列恒等式的应用@程…     

数学与物理相得益彰的两个范例

物理学科与数学学科之间有着密切的联系,这种联系使得这两门学科相互促进、相互发展、相得益彰.本文从两个例题入手阐述了它们之间的这种关系.例一利用数学知识推导物理公式,反之,例二利用物理知识推导数学公式.谨以此来表征它们之间的紧密联系.     

柯西不等式的联想与感悟

不等关系和相等关系是基本的数学关系,它们在数学学习与研究、应用中起着重要的作用.强调不等式及其证明的几何意义及数学背景,可以加深学生对不等式数学本质的理解.以提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题能力.以柯西不等式证明为例,柯西不等式:a1,a2,b1,b2∈R,则(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).(高中实验教材(湘教版)选修4-5)教材用构造两个向量α=(a1,a2),β=(b1,b2),由cos2<α,β>≤1得(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)≤1,即(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).教材又通过构造二次函     

麦克斯韦方程组的协变形式与两个相对论不变量的推导

麦克斯韦方程组的协变形式与两个相对论不变量是狭义相对论和电动力学中非常重要的内容,一般文献和教材中对于这两个问题的处理要么强调数学推导,要么注重理论解释.尝试从物理概念到数学结构的理念出发得到这两个结论.这无疑对狭义相对论的理解有一定的帮助,也是学习量子场论、粒子物理学必须具有的基本知识和推证能力.     

韦达定理的逆定理在解析几何证题中的应用举例

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=-b/a,α·β=c/a,那么这两个数α,β是方程ax~2+bx+c=0(a(?)0)的根.我们知道,这便是韦达定理的逆定理.下面举例说明它在解析几何证题中的应用.     

教本探源求二项展开式的某项或某项的系数——谈组合推导法的应用

求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题目出现,人们往往利用二项式定理的通项公式去解决,却忽视了推导二项式定理的原理,组合计数推导法,这是伟大的物理学家、数学家牛顿在1665年推导二项式定理的方法,我命名为"组合推导法",多项式的乘法本质是其结果由每个括号中取一项相乘的所有单项式合并同类项得到的.教材中二项式定理的推导就是将(a+b)n看成n个a+b相乘,从每个括号中     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

关于圆的渐开线的参数方程的推导方法问题

在过去和现在的数学教科书中,对于圆的渐开线的参数方程的推导都是采用了把渐开线上的动点M(x,y)的横坐标x分为两条线段,把纵坐标y也分为两条线段来进行推导的.在推导过程中取角φ为参数,虽然教材中谈到M(x,y)是圆的渐开线上的任意一点,但实际上是把φ取在区间(0,π/2)内,并且利用了图中∠MBD=∠AOB=φ(参看统编高中《数学》第二册p195图7-17)进行推导的.当φ≥π/2时,其推导过程与φ在     

再给Rolle定理一个新证明

数学通报1981年第一期介绍了发表在《美国数学月刊》上的Rolle定理的两个新证明。正如编译者指出,Rolle定理的证明在许多数学分析教程中大多千篇一律,多年不变(几乎都要用最大(小)值定理)。《美国数学月刊》上的第一个证明是构造性的,第二个证明应用了两个现成的命题: (a)如果f(x)在闭区间[c,d]上连续,且f(c)=f(d),那么存在α,β∈[c,d]满足β-α=c-d/2,及f(α)=f(β); (b)如f(x)在某内点x可微,那么对于任意两个序列α_n,β_n满足α_n≤x≤β_n,     

分类讨论 缜密思考——以“SSA”三角形尺规作图教学为例

<正>本文以探究“SSA”三角形尺规作图的类型和结论推导为例,展示分类讨论思想的应用.一、尺规作图已知线段a, b及∠β,求作△ABC,使AC=a, AB=b, ∠ABC=∠β.二、作图探究作∠MBN=∠β,并在BM上取点A,使BA=b.(一)∠β为锐角1.a>b如图1,以点A为圆心,a长为半径作圆与直线BN有两个交点,其中一个交点在射线BN上点C处,另一个交点在射线BN的反向延长线上点C′处,     

公式推导可以简单化吗

数学公式是数学学习的重要内容,其掌握的程度直接影响学生对数学概念的理解和数学理论的应用.本文从两个教学案例探讨了如何进行数学公式的推导及它在教学中的重要性.     

用韦达定理的逆定理证三角题

<正>如果两个数α、β满足如下关系:α+β=-(b/a),αβ=c/a,那么这两个数α,β是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这是韦达定理的逆定理.下面举例说明它在三角中的应用.     

一元回归直线方程的简易推导

高中数学新教材第三册(选修II)第42页阅读材料用配方法给出了回归直线方程的推导,虽然其解决问题的思路清晰可行,但其推导过程确实有点复杂。《数学通讯》2003年第23期刊登了刘坦老师《回归直线方程的另一推导》一文,该文利用导数求最值的方法推导一元线性方程回归方程中的两个参数,虽然看似简     

周长公式里能用别的字母吗

教学<长方形和正方形周长>,难点是让学生理解周长的概念,重点是推导出长方形和正方形的周长公式.为了化解难点、突破重点,我对教学各环节做了精心设计.课堂上,直接利用学生已有经验认识并进一步理解周长概念.在此基础上,学生通过动手操作、小组合作交流研究,推导出长方形和正方形周长公式.自然地,在分别推出每个公式后介绍它们的字母公式.周长用"C"表示,长方形的长用"a"表示,宽用"b"表示,正方形边长用"a"表示,那么长方形周长公式为"C=(a b)×2",正方形周长公式为"C=a×4".在我的意识中,这是个无需太多言语的环节,只要学生记忆一下便可.因此对这两个字母公式只作了简单的介绍后,便针对这两个公式开展了练习.     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

双曲线的参数方程

数学教材中的懈析几何部分．对圆锥曲线中的圆、椭圆的参数方程都做了详尽的论述，而对于双曲线的参数方程．由于参数不好选择．只给出了表达式．现以焦点在x轴，半实轴为a，半虚轴为b的双曲线为例．对其参数方程推导如下：     

小题目 大思想

填空题、选择题以其小型、灵活、多样的特点占据着中考试题的“半壁江山它重点用于考查基础知识、基本技能和基本数学思想方法.考查的数学思想方法主要有:一、分类讨论思想如果某个问题可能有多种情况出现或推导结果不能唯一确定,则需要分类讨论.例1(2005年湖北省荆州市中考试题)若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点,则a可取的值为.分析:由于a-2的值不确定,故需分类讨论.(1)当a-2=0,即a=2时,函数为y=-3x+2,是一次函数,它与坐标轴有两个交点(2)当a-2≠0,即a≠2时,已知函数的图象为抛物线,要使它与坐标轴有两个交点,则…     

“韩信点兵”与枚举法

高中实验修订课本数学第一册(下)的 4.7部分有这样两个三角恒等式: sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2; cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2. 这两个三角恒等式通常叫做和差化积公 式,有了它们,我们可容易推出: 定理:(1)sinα+sinβ2≤sinα+β2 (当且仅当α=β时等号成立); (2)cosα+cosβ2≤cosα+β2 (当且仅当α=β时等号…     

一道高考题解题思路的探究及应用

这是2004年高考数学湖北卷第11题:已知平面α和平面β所成的二面角为80°,P 为α,β外一定点,过 P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条分析此题是由1993年全国高考理科数学卷第18题演变而来的:已知异面直线 a 与 b 所成的角为50°,