卡诺定理的3种有趣的推广

我们知道，关于三角形有如下命题： 定理1 在三角形中，垂心与任一顶点的连线，平行于外心与对边中点的连线，且前者等于后者的2倍． 这个命题通常被称为卡诺（L．N．M．Camot，1753—1823，法国）定理．本文拟应用向量方法，给出这个定理的3种有趣的推广．为此，我们约定：     

三点共线的一种面积证法

定理：若S_(△ABC)＝0，则A、B、C三点共线．这个定理在证明某些较难的三点共线问题中往往有着出奇制胜的作用．下面试举三例来体现它的证明技巧．倒1凸四边形ABCD中，S_(△ABg)＝3，S_(△ADC)求证：BC、AC的中点E、F和D共线．国一赛题的等价命题）．证如图1由条件得：所以由上述定理知：D、E、F三点共线．例2已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角钱，点M、N分别内分AC、CE且使求证：B、M、N三点共线．（IMO·23第5题的逆命题）．证设正六边形面积例3圆外切四边形ABCD中，内切圆圆心为O，E、F分别为对角线AC和BD…     

关于子流形的Riemann 浸没

设π：N^n＋r→N＇^n是Riemann浸没，f：M^m＋r→N^n＋r和f’：M’^m→N’^n都是等距浸入，并假定M遵从Riemann浸没π，我们证明：1）若M是N全脐子流形，则M’是N’的全脐子流形．2）若f（M）是N的迷向子流形，则f’（M’）是N’的迷向子流形．3）如果M包含在N的一个全测地子流形N^m＋r＋1中，则M’包含N’的一个全测地子流形N’^m＋1中，特别地，我们得到复射影空间和四元数射影空间中子流形的Simons型Pinching定理及全脐平流形的一个特征。     

关于素Near-环的微商

本文将魏宗宣关于原环求导的一个定理推广到素Near-环上．主要结果是：设N是一个2-扭自由的素Near-环，d是N的一个非平凡微商．Z为N的中心，I是N的非零理想，如果d（I）Z，则N是可换环．     

三种空间角大小的一个和谐公式

笔者在教学过程中发现了一个能将三种空间角的大小有机结合起来的好题目，介绍如下．题目设二面角Ma—N的大小为外有一条直线交面M于点A，交面N于点B，设直线AB与面M所成角为a，与面N所成的角为q，与棱a所成角为从则：证明（）当9为锐角时，过点A作AC上N于C，连结BC则／ABC一户，在面N内过点C作CE上a于E，连结AE，由三垂线定理可知AE上a，则fAEC就是二面角Ma—N的平面角，即Z＊＊C一队过点B作＊D上M于D，连结AD，则／BAD一a．在面M内作DF上a于F，连结BF，由三垂线定理可知，BF上a，则zBFD一批在面N内过点B作BG“a交…     

d—连续模分解定理的改善

在文献[1]中,作者曾证明过这样一个定理:若M是d—连续模,则M=N+N′,此处N=(?),每个A_i都是局部模且有限个A_i的和总是M的直和项,N′是满足Rad(N′):N′的M的直和项。本文通篇皆用Rad表示Jacobson根。对上述分解定理,可作如下改善,即把代数和加强为直和。定理若M是d—连续的,则M=N+N′,此处N=(?)A_i,每个A_i都是局部模且Rad(N′)=N′。为便于参阅,将定理证明中需引用的在文献[1]中证明或引用过的结果开列于后: (A)、A是B在M中的加性补当且仅当M=A+B且A∩B是A的小子模。     

用平移法解多中点问题

应用三角形中位线定理解决多中点问题，经常要用到“取中点连中线”的方法，但对多中点问题，到底在什么地方取点，同学们常感到困惑．本文通过几个典型例题说明取点连线的方法．例１已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别     

整数幂“2^n”的趣味教学

二项式定理中二项式系数之和的问题 二项式定理：（a＋b）^n=Cn^0a^n＋Cn^1a^n-1b＋Cn^2a^n-2b^2＋…＋Cn^ra^n-rb^r＋…＋Cn^nb^n（n∈N＊,0〈r〈n）．     

借助图形学好高等数学(一)

高等数学本是“线性代数”、“空间解析几何”、“常微分方程”、“微积分”的缩本。它综合了这四门学科的知识，要求的基础知识面宽，因此往往一般初学者都认为这门课难学。难就难在第一：有些定义定理太抽象、难以理解；第二：记忆性的东西太多；第三：在解题过程中不能灵活地运用所学知识。鉴于这种情况我们可以利用“图形”帮助理解问题，分析问题，解决问题。 一、用图形帮助理解定义、定理 凡是学过高等数学的人都知道“极限”这个概念难以理解，而“无穷”更难把握，总觉得有些虚无缥缈，加上要用ε—N来证极限fx＝A就难上加难…     

平行线等分线段定理两个推论的应用

推论１经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰．推论２经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．平行线等分线段定理的推论１和推论２是两个重要的定理，在论证和计算梯形及三角形的问题中经常用到，利用它们可平分线段、证线段的中点或证明线段的和差倍分等．为了让学生能熟练地掌握并运用这两个推论，本人采用了将定理简化记忆的方法．这两个定理可简记为“中点”＋“平行”“中点”（条件）（条件）（结论）现将应用举例如下．一、证线段相等问题例１．已知：如图１，M、N分别是平行四边形ABCD的AB、CD边的中点…     

中位线定理在解析几何中的功能

中位线定理在解析几何中的功能西安铁一局铁中赵连城梯形中位线定理是梯形的一个重要性质，同样，三角形中位线定理也是三角形的一个重要性质、它们有密切的联系．三角形中位线定理可以说是梯形中位线定理的特例．其共同特点是：在同一题设下，有两个结论．一个结论说明中...     

蝴蝶定理逆定理的一个证明

蝴蝶定理的逆定理如图,过圆O中弦AB的一点G,任作二弦DF、CE,连结CF、DE交AB分别于M、N,如果MG=NG,那么G是AB的中点。证明：如图,过点N作HK,作HK∥FC,交EC于H、交FD的诞长线于K,     

以运动的观点讨论与圆有关的比例线段

《初中几何》第三册先后讲述了切线长定理、相交弦定理、切割线定理及其推论——割线定理。笔者在多年初中几何教学的过程中，深刻体会到：上述四个定理虽然在概念上有一定的区别．但它们在本质上有着内在的联系。用运动的观点讨论这四个定理，便于学生理解和记忆这些定理．     

二项式定理的探究教学

二项式定理相比方程、函数等中学数学的核心知识,与其关联的知识不是很多,显得很“独立”．然而它内涵丰富,在微分学、组合数学领域有广泛的应用．中学学习二项式定理,主要是掌握（a＋b）n（n∈N）的展开式及简单应用,会用计数原理证明二项式定理[2]．第一课时二项式定理内容的学习,是探究式教学的好素材,教学设计的共识是：不直接告诉学生定理,而是在教师的引导下,通过合情推理猜测结论,进一步证实结论,获得定理．     

平行线与比例线段的综合应用

在初中几何第二册的“相似三角形”一章中，要学习平行线分线段成比例定理，定理内容、推论、以及它的逆定理具体如下：     

泛函分析中定理教学的改革尝试

泛函分析中的定理可分为3类：内容和证法都重要的定理，重要定理的引理、推论及过渡性质、例题性质的定理，重要定理的明显的等价性定理和枝叶性定理．泛函分析的教学过程应包含6个环节：指导预习，复习引入，形成假说，校正推证，反思回顾，复习巩固．     

巧用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这个定理反映的是直角三角形中成比例的线段关系．定理在有关计算和线段的积、商的证明中有着广泛的应用，也是各级、各类学校升学考试及国内外数学竞赛的考查热点内容之一、     

等腰三角形性质定理的证明方法

研究几何定理的证明方法具有十分重要的意义．这是因为几何定理的证明方法一般都具有典型性和代表性．只要理解和掌握了几何定理的证明方法，就能从根本上掌握几何命题的证明方法．因此，在几何定理的学习中，一定要重视理解和掌握几何定理的证明方法．但有不少同学在几何学习中，对几何定理的证明方法极不重视，老师在课堂上分析几何定理的证题思路、讲解几何定理的证明方法时，他们不注意听，只把精力放在定理条文的记忆和背诵上．这是舍本求末的做法，应该改变．对于等腰三角形的性质定理，课本上的证明方法是利用全等三角形给出证明：先…     

怎样学习几何定理

几何定理是几何知识的核心内容，它是几何中推理、论证、计算和作图的理论根据．因此，在几何学习中，学好几何定理具有十分重要的意义，我们必须下苦功学好．那么，怎样学习几何定理呢？一、学会分清定理的条件和结论任何几何命题都由两部分组成：一是条件，二是结论．若几何命题是以“如果……；那么……”的形式表述的，则以“如果”开头的部分是条件，以“那么”开头的部分是结论．如等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．它的条件是：一个三角形有两个角相等；它的结论是：这两个角所对的边…     

一个递推式的证明及应用

定理：如果Sn=ax^n＋by^n,那么Sn=（x＋y）Sn-1-xySn-2（n∈N,且n≥2）.