函数f（x）=x＋a／x（a〉0）的图象及应用

在高中学习中,特别是高三复习中时常遇到形如f(x)=x+a/x(a>0)的函数的相关问题.尤其是在求它的最值和值域问题上,学生总是把握不准,常常与均值定理相混淆.那么,要想克服这个问题,就有必要根据函数f(x)=x+a/x(a>0)的图象,利用它的性质来解决.     

利用“f（x）严格单调，f（x）=f（y）←→x=y”巧解竞赛题

我们知道，f（x）严格单调，f（x）=f（y）←→x=y（＊）看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣。     

f[f（x）]=（x＋1）／（x＋2）确定的函数f（x）是1／（1＋x）吗？

在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如…     

简谈函数f（x）=ax＋b/x与f（x）=ax-b/x的本质联系

在高中数学中,我们经常碰到下列两类函数:f(x)=ax b/x与f(x)=ax-b/x(a,b∈R ),由于这两类函数在历年高考中经常出现,因此广大师生对它们的性质已经有一个初步的认识(如图1、2). 但是绝大多数人认为这两个函数除了定义域和奇偶性外,几乎没有其他相似之处,因此是两个没有什么联系的孤立函数. 然而事实并非如此,下面就谈谈本人在这一方面的几点浅见.     

函数f（x）=ax＋（b／x）（a,b∈R）的性质及应用

一、函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质     

关于函数方程f（x＋y/2）=f（x）＋f（y）/2的通解

用分析方法给出了一个网上征解函数方程问题的通解。     

方程f（x＋y）=f（x）·f（y）解函数特性

本文从一道高考题出发,运用了数学分析理论,较为深刻地揭示了方程f(x+y)=f(x)·f(y) 解函数特性,导出了函数,f(x)的重要解析特征。     

谈f（x）=x^m＋k／x^n型函数的最值

高中数学教与学2003年第6期“待定系数法求四类函数最值”一文中聂文喜老师介绍了利用均值不等式求最值，等号不能成立时，适当引入参数，利用待定系数法求解，读来颇有新意，但在实际教学中引入参数的过程技巧性较高，学生不易掌握．本文将借鉴该文，对文中提及的第一类f(x)=ax^m b/x^n型函数进行研究，给出这类函数最值问题的另一解法——单调性法，限于中学教材的要求，下面仅举例说明三种特殊情况，与聂老师及广大同行探讨。     

函数y=x＋p／x（p〉0）三角化的一座“桥”

对于求形如函数y=x (p)/(x)(p>0)型的最值问题,如果我们能形似联想到三角公式tanα (1)/(tanα)=(2)/(sin2α),便会考虑实施三角代换x=ptanα,使其转化成三角函数问题. 该代换架设了这类函数三角化的一座"桥",从而为该问题的求解提供了又一解题新通途.     

怎样确定函数y=Asin（ωx＋φ）的解析式

利用图象特征确定函数y=Asin(ωx φ)的解析式时，要用到下述几个结论：一是振幅A=1/2(ymax-ymin)，即振幅表示振动量振动时离开平衡位置的距离，二是相邻两个最值点对应的横坐标之差，是一个单调区间的长度，为T/2，由此可导出(ω)的值。     

函数f（x）=x^x-k的性质探究

一、问题的引出 戚有建老师在《数学通讯》2012年第10期讨论了函数f（x）=x^x-k的性质及其应用,