四边形规律探究，相似知识显身手

题目(2004年重庆市)如图1，四边形ABCD是面积为a的任意四边形，顺次连结各边的中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为.     

中点四边形

A BCDEFGH图1中点四边形是指顺次连结四边形各边中点所得的四边形.中点四边形的形状与原四边形的两条对角线有着十分密切的联系.为了说明这一点,请看下面的几个例题.例1如图1,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.试判断四边形EFGH的形状.解析:因为点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点,所以为了能充分利用这一条件,可以连结AC.于是在△ABC中,EF是中位线,则EF∥AC,且EF=12AC;在△ADC中,HG是中位线,则HG∥AC,且HG=12AC.所以ABCDEF GH图2ABCDEFGH图3EF∥HG,且EF=HG.所以四边形EF…     

与初中同学谈数学问题的探讨过程(一)

解完“顺次连结平行四边形各边中点,所得到的四边形,还是平行四边形。”(如图1,E、F、G、H分别是◇ABCD的各边中点)后,联想到在小学就画过“顺次连结正方形各边中点,得出来的图形还是正方形”的图(如图2),不禁产生一个问题:既然当四边形ABCD是斜平行四边形时,四边形EFGH也是斜平行四边形;当ABCD是正方形时,EFGH也是正方形;那么,当ABCD是某种四边形时,EFGH是否也是同种的四边形?     

探索一类面积问题

我们先来看一个简单的真命题： 如图1（1）,任取一凸四边形ABCD,顺次连结各边中点E、F、G、H,则四边形EFGH是平行四边形,且其面积为凸四边形ABCD面积的1/2。     

等分线段的图形中的有趣性质——从2000年征解问题5.1中得到的启示

问题1如图1,凸四边形ABCD的两双对边的中点连线EF、GH相交于O,那么,图中阴影部分的两个四边形面积的和是四边形ABCI〕的面积的几分之几?请证明你的结论. (江苏省第十五届初二(一试)赛题改编) 猜想利用特例猜想.如果四边形ABCD是一个正方形,那么图1中,四个四边形全等,这时,‘。,一合“四边形A贺二 证连结OA、OB、OC、OD,这样将四边形分成八个小三角形,分别标上数字①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(见图2),由于等底同高的三角形面积相等,所以S①一S忿,S③~S④,S⑤一S⑥,S⑦一S⑧,于是S麟一S。:+S⑧十。.01,。.0.,。.。S。+S,…     

一道“希望杯”竞赛题的四种解法

例题 如图1,四边形ABCD是长方形,点E、F分别在边AB、CD上,若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1：3：5,则AE：BE_______.     

四边形一个有趣性质的发现

对于任意四边形,有这样一道常见题: 若EFGH分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,则线段HF和EG相互平分.笔者在研究这道陈题时意外发现如下规律: 性质1 若EFGH分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,四个小四边形的面积存在如下关系:SAIH+SIFCG=SEBFI+SHIGD.     

利用中点四边形培养学生能力

教科书中有关中点四边形的典型例题、练习、习题、复习题可串联组合如下：例１求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。这是教科书１８３页例１，此例可作为章节复习或总复习时的引子。已知：如图１，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：因为已知点E、F、G、H分别是各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，从而借助三角形的中位线性质找到四边形EFGH的对边之间的关系，启发学生得出三种证法。方法一，连结AC，利用一组对边平行且相等证…     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

变“任意”为“特殊”

例1 任意四边形ABCD(如图1),E、F、G、H为各边中点,那么四边形ABCD的面积是四边形EFGH面积的几倍?     

数学奥林匹克问题

初93.如图,已知四边形ABCD,把各边四等分,连结对边相应的点交成四边形EFGH。证明: S_(四边形EFGH)=1/4S_(四边形ABCD)。 (单笔 天津师范大学数学系,300074) 初94.有甲、乙两名军官及2000名士兵,为执行任务,每名军官要从这2000名士兵中挑选若干名士兵组成一支部队,两名军官必须轮流挑选。如果某个军官轮到挑选最     

中点四边形的再探索

探索:1.当四边形对角线互相垂直时,中点四边形为矩形;例1如图1,F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使EFGH为矩形,四边形ABCD应该具备的条     

四边形内勃罗卡角的几个计算公式

若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角. 关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次为△1,△2,△3,△4,四边形ABCD的面积为△.     

探索中点四边形

“顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形(简称为中点四边形)一定是平行四边形.”且面积是原四边形面积的一半(华师大九年级课本P62).     

第39届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。     

平行四边形中考题练习(配合人教版)

1.如图1,E、F、G、H分别是四边形ABCD四条 D 了乙﹃J产 一尸﹄‘、、J︸了厂厂七 户、/一;.﹄一︸,︸ ,叫﹄‘盈1 1 11 B 边的中点,要使四边形E户UH 为矩形,则四边形ABCD应具 备的条件是(). A.一组对边平行而另一组 对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.如图2,〔豆魂BCD中,若乙A= 1250,则乙召= 3.农业技术员在一块平行四边 形的实验田里种植四种不同的农作 物,现需将该实验田划成四个平 行四边形地块,如图3所示.已知 其中三块田的面积分别为16mZ, lomZ,36m2,则第四块田的面积 是 4.如图4,直线l是四边…     

判定平行四边形的五步曲

1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例1在四边形ABCD中,BD⊥BC,各边长如图1所示,求证：四边形ABCD是平行四边形．     

婆罗摩笈多定理和一道IMO题新证

第39届IMO第一题,是一个很有趣的几何题,题目如下: 题在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与CD不平行.点P为线段AB、CD垂直平分线的交点,且P点在四边形ABCD内部.证明:ABCD为圆内接四边形的充分而必要条件是:△ABP与△CDP的面积相等.     

数学探索性题目的解法

在数学学习中注重数学实际运用能力,有利于激发同学们学数学,用数学的兴趣。在最近几年的中考探索性题目较多,为帮助同学们了解探索性题目,下面略举几例说明:例1四边形ABCD中E、F、G、H分别是四边形各边的中点,连结EF、FG、GH、HE:①根据条件你想到了什么定理?②请问EF和GH之间的关系,FG和EH有上述关系吗?四边形EFGH的形状又是怎样的?③将已知条件中的四边形分别换成梯形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形后、四边形EFGH的形状又是怎样变化呢?④说出对四边形EFGH的形状起主要作用的因素是什么?分析:①联想到三角形的中位线定理…     

构造平行四边形证题例析

平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质.证明某些几何题时,若能巧妙地构造出平行四边形,就会化难为易、化繁为简,证明过程简捷. 现举例说明. 一、证两线段相等例1 已知:如图1,在四边形ABCD中,AB=DC, AD=BC,E、F在对角线AC上,且AE=CF. 求证:BE=DP.(河北省中考题) 证明:连结BD交AC于O,连结DE、BF. ∵AB=DC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.