一道全国高中联赛向量题推广的新视角

1已有推广的呈现 对于2004年全国高中数学联赛题中的向量题：设O点在△ABC内部，且有OA^→＋2OB^→＋3OC^→=0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（ ）．     

一道竞赛题的探讨、推广及其应用

2004年的全国高中数学联赛中的一道向量题引起了笔者的兴趣，该题是：设O在△ABC内部，且有→^OA＋2→^OB＋3→^OC=→^0。则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（ ）。     

一道联赛试题的推广

2004年全国高中数学联赛第一试第四题：设O点在△ABC内部，且有OA^→ 2OB^→ 3OC^→=0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为     

一道竞赛题的推广

2004年全国高中数学联赛试题第4题:设O点在△ABC内部,且有(OA→) 2(OB→) 3(OC→)=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为( ).     

一道高中竞赛题的探讨与推广

题目（2004年全国高中数学联赛题）如图1，设O点在△ABC内部，且有OA^→ 2OB^→ 3OC^→=O^→，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为…………（ ）     

使用平面向量基本定理探讨一道联赛题

2004年全国高中数学联赛第4题为:设O 点在△ABC内部且有(OA|→) 2·(OB|→) 3·(OC|→)= (0|→),则△ABC的面积与△AOC的面积的比为……………………………………………() (A)2; (B)2/3; (C)3; (D)3/5．向量是高中数学新增内容,在全国高中数     

一道竞赛试题的推广

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第8题：已知点O在△ABC内部,^→OA＋2^→OB＋2^→OC=0,△ABC与△OCB的面积之比为5：1.     

两道赛题的巧证

如图1,且刀二B五、C尸是锐角△ABC的三条高线,R是△ABC外接圆半径,S是△且刀C的面积.则△DEF的周长与面积分别是:4Rsin姓sinBsinC,ZSeosAeosBeosC.证明:.:△A刀F的.J_。.E尸AE△ABC,:.景升二福若二。。sA。‘二一,二Bc AB-一EF一BCeosA一ZRsinAeosA·RsinZA,S△,二尸一SeosZA乃同理可证:尸D二RsinZB,已有证明,故不再重复. 运用以上周长与面积公式,可以简捷地证明下列两道高难度的平几题. 例1(86年全国高中数学联赛题),已知锐角△且刀C的外接圆半径是R,点D、E、F分别在边BC、CA、月刀上.求证且刀、BE、CF是△且…     

从一道竞赛题的解法谈起

一、题目展示（2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,AB·AC=7,|AB-AC|=6,求S_△ABC的最大值.点评:本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法分析常规解法:如图1,由|ABAC|=6,得a=6,由AB·AC=7得     

一个与三角形相关的向量等式的讨论

在2004年全国高中数学联赛的试题中,有一道被广泛关注的选择题:设 O 点在△ABC 的内部,且+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为( ).A.2 B3/2 C.3 D.5/3不少人对该题进行研究和推广,已公开发表的关于这方面的文章,至少有十多篇.其中,文[1]、文[2]有如下结论:’命题1(文[1]中的定理)设 O 为△ABC 所在平面上的一点,p,q,r 是不同时为0的实数,且 p+q+r=0,①则△AOB、△BOC、△AOC 的面积与△ABC 的面积之比分别为     

一道全国高中联赛向量题推广的新视角

1 已有推广的呈现对于2004年全国高中数学联赛题中的向量题:设 O 点在△ABC 内部,且有+2+3=0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为().A.2 B.3/2 C.3 D.5/3文[1]和文[2]均将其推广,但叙述稍有不同.为行文方便,将其叙述分别摘录如下.文[1]的推广为:设 O 点在△ABC 内部,且有 p·+q·+r·=0(p,q,r∈(0,+∞)),则△ABC 的面积与△AOB、△BOC、△AOC 的面积的比分别为(p+q+r)/r、     

应用单位向量定义的深层理解巧解题

单位向量是向量的一个重要概念,本文例谈对它的深层次理解巧解题.1应用单位向量定义从数上来深层次理解巧解题向量a为单位向量|a|=1;因为a|a|=||aa||=1,所以|aa|是非零向量a方向上的单位向量.例1(2002年全国高中数学联赛山东赛区预赛题)设O为△ABC内任一点,SA,SB,SC分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积.求证:SA·OA SB·OB SC·OC=0.讲解由于三角形面积可用其内角的正弦表示,因此本题实质上是一个向量与三角的综合题.设∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ,e1、e2、e3分别表示OA、OB、OC上的单位向量,即e1=|OOAA|,e2=|OOBB|,e3=O…     

数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

一道教师基本功竞赛测试题的解法探究

2012年暑假,笔者参加了我市教育局组织的高中数学教师基本功解题竞赛,对填空题第12题颇有兴趣.题目摘录如下:如图1,在面积为2的△ABC中,E、F分别是边AB、AC的中点,点     

谈一道数学竞赛题

合肥市1983年高中数学竞赛的第4题是“设在△ABC中有cosA/(sinB)+cosB/(sinA)=2,证明△ABC是一个直角三角形。”从表面上看,此题似乎很平常,大概只要和差化积、积化和差,几步就可得出结论,其实不然,它还是有一定的深度和难度的。这不是一道陈题,但却是由课本上的一道练习题脱胎而成的。统编高中数学课本第一册,第168页有一道题“在△ABC中,求证:     

一个与三角形内心有关的图形性质与几道竞赛题

引题 （2002—2003芬兰高中数学竞赛（决赛）题）设I为△ABC的内心，射线AI、BI、CI与△ABC的外接圆交于点D、E、F．证明：AD⊥EF．     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·     

一道四川预赛试题的解法赏析

<正>1.预赛试题题目 (2022年全国高中数学联赛四川预赛第6题)若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+3c2=7,则△ABC面积的最大值为______.这是一道只有一个条件的求三角函数面积的最值问题,注意到已知等式中a,b,c均带平方,且a与b是对称的,所以在选择面积的表示方法时就要充分考虑到这些因素,为下一步求最大值做好铺垫.2.多解探究记△ABC面积的最大值为S.     

两道数学竞赛题的又一解法

读了《1987年全国高中数学联合竞赛试题答案及评分标准》后,颇受启发.今对其中第二试的第一、二两题提出我们的解法,供读者参考.一、如图,△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形.现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M 使△BMD 为等腰直角三角形.     

一道竞赛题的简证

在各类数学竞赛中,几何题占有相当大的比例。近年来出现用复数法解几何题的趋势,这种思考方法对于涉及旋转的几何题效果尚好。下面是去年的高中数学竞赛中第二试的一道几何题。原题如下: 如右图,△ABC与△ADE均为等腰直角三角形,AC>AE,今将△ADE绕A旋转,求证不论旋转至什么位置,连线CE上必有一点M,使△BDM为等腰直角三角形。这道题有一定难度,首先在于△ADE位置的不确定性,其次CE上点M的性质也