用定义法证明数列极限存在应注意的问题

极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较为困难。本文以数列极限为例 ,来说明运用定义法证明数列极限存在应该注意的问题。大家都知道 ,用定义法证明数列极限存在的关键是 :对 ε >0 ,都能找到Ｎ (ε)的存在 ,使当ｎ >Ｎ时 ,有 |ｘｎ-ａ|<ε成立。对一些极简单的数列 ,我们可以用直接解不等式 |ｘｎ-ａ|<ε的方法找到Ｎ(ε)的存在。例 1:证明 :ｌｉｍｎ→∞(- 1) ｎ 1ｎ =0证 :对 ε>0 ,解不等式 (- 1) ｎ 1ｎ - 0 <ε ,由 (- 1) ｎ 1…     

用极限定义证明lim(n→∞)(a_n)=a的证法分析

挖掘教材内蕴，在讲解数学识识的同时，教给学生数学思想与方法，是对数学专业学生瞪行素质教育的重要途径。本文结合用数列极限定义证明liman＝a教学过程谈谈在这方面的一些尝试与体会。极限理论是教学分析的基础理论，数列极限定义是极限理论的奠基概念，是理解各类极限的基础，而证明timan＝a是数列极限定义应用的首次亮相，是加深理解数列极限定义本n－－co身的最好材料，因而它是极限理论的重点和难点。因此对于证明timan＝a的教学要给予足n－－－co够的重视，教材或教学参考资料对于证明过程的步骤、难点和所涉及的辩证思想如有限与无…     

关于数列极限的证明方法

数学分析中的大部分概念是用级限形式给出的,学生对极限概念的理解直接影响着他们的学习。极限的证明对于学生理解极限的概念是十分重要的,而多数学生对极限的证明感到困难。本文对教材中常见的数列类型的数列极限的证明加以讨论,给出相应的证明方法。一、直接用定义证...     

等差数列和等比数列a_n及s_n通用公式的另一种形式

等差数列和等比数列ａ_ｎ及ｓ_ｎ通用公式的另一种形式渭源县庆坪中学张生复中学数学课本给出的等差数列和等比数列的第ｎ项ａｎ及前ｎ项和Ｓｎ的通用公式，都是以首项ａ１为起始条件。其实以其中任一项ａｍ为起始条件的通用公式，运算量小，应用方便，更能表达ａｎ及Ｓｎ...     

捕捉隐含信息 优化解题过程

本文通过具体的例子说明如何捕捉题中隐含的信息，优化解题过程。 一、捕捉隐含的定义、定理、公式信息使解题变得简洁 例题１设数列ａｎ的前ｎ项的和为Ｓｎ，该数列从第二项开始，后项减去前项的差为常数，且Ｓｎ＝（ｎＮ），若ｂｎ＝（－１）ｎＳｎ，求数列ｂｎ的前ｎ项和Ｔｎ· 分析 １：如果仅仅发现题中 Ｓｎ、ａｎ（或ｎ）的关系，直接运用公式ａｎ＝则解题较复杂．如果同时发现该数列是等差数列，则可利用题中公式和等差数列的知识来解，解题过程就变得简洁． 解法１：在Ｓｎ＝中令ｎ＝１可得： ａ１＝１，令ｎ＝２，得１＋ａ２＝ａ…     

关于数列极限定义认知过程的教学

从数列极限的描述性定义出发,采用逐步精确化的方法,引出数列极限精确的数学语言定义,以便于学生深刻理解数列极限的定义的本质。同时通过实例用极限的精确定义证明数列的极限,并指出了证明时的要点。     

一个充要条件的应用

一个充要条件的应用韩天禧（甘肃省高台一中７３４３００）定理数列｛ａｎ｝为等差数列的充要条件为：它的前ｎ项和Ｓｎ＝Ａｎ２＋Ｂｎ，或通项ａｎ＝２Ａｎ－Ａ＋Ｂ（Ａ、Ｂ为常数）．证明必要性设等差数列｛ａｎ｝首项为ａ１，公差为ｄ，则Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－１）ｄ...     

数列极限证明中"放大法"的应用

介绍用“ε-N”定义证明数列极限时放大法的使用原则,并归纳出用“ε-N”定义证明数列极限的4个放大法法则。     

简单递推数列的变换

１ 下标变换 数列递推式即关于ｎ的数列恒等式，针对下标的特征，对式子中的ｎ进行若干次代换后再施以四则运算，可化简递推式或求出通项． 例 １ 已知数列 ｛ａｎ｝ 中，ａ１＝１，ａ２＝２，且，求解对（１）进行下标变换得（２）－（１）得：即 而，故， 即ａｎ以３为周期呈周期变化． 故 例２ 已知数列｛ａｎ｝的项满足其中．求ａｎ． 解 由 作下标变换得 两式相减，得 这表明为等比数列，故 再对上式作下标变换：将ｎ以２、３、…、ｎ－１代换得ｎ－２个式子，累加得 实际上，常用的累加、累乘法均是建立在下标变换的基础上的．２＄代…     

从证明极限limn~■(1/n)=1所想到的

证明数列a_n=的极限=1,是研究数列极限的一道有代表性的范题.本文用四种方法给出证明,并指出在证明时应该注意的问题. 方法一:用极限的分析定义证明     

关于极限证明中限定N、δ问题的讨论

本文就用数列极限“ε-N”定义，函数极限“ε-δ”定义的证明过程中，为解不等式的需要，对N，δ进行适当限定的目的，技巧进行了讨论。     

关于数列极限定义的教学

本文就初学数学分析的读者难于理解、不易掌握的极限定义来探讨数列极限定义的教学,论述了在弄清概念时,用定义证明数列极限的一些基本办法和技巧。     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

一类迭代数列敛散性判别的新准则

判别数列收敛性的方法有多种,但对迭代数列一般采用定义或单调有界数列必有极限的定理来判别.用定义法判别是学生最感困难的,用定理证明时,单调性和有界性的证明也并不容易.本文介绍一种判别迭代数列收敛性的方法,在判别收敛性的同时还可得到其收敛值.     

“放大法”证明极限的几种技巧——兼析一道试题

利用定义证明数列极限或函数极限在极限理论教学中占有一定的地位,它既能加深学员对数列极限的“ε—N”定义、函数极限的“ε—N”或“ε—δ”定义的理解,又能提高学员逻辑推理的能力,为进一步学好数学分析奠定基础。 证明极限的实质在于求出仅与预先给定的任意小正数ε有关的N(ε)或δ(ε)。确切地说,对于数列极限就是需要找出满足不等式|x_n-a|<ε(其中x_n表示数列的通项)的充分条     

两类n阶行列式计算的母函数法

分式行列式和三对角行列式是ｎ阶行列式中较难计算的行列式，通常采用行列式的性质展开定理并借助数学归纳法来计算或证明，结果难以归纳，计算繁琐且易出错。因此可采用一种新的计算方法，将ｎ阶分式行列式或三对角行列式看作线性递归数列的第ｎ项，应用分析方法－－母函数法来求线性递归数列的通项公式。     

数列极限比较理论

给出数列极限比较式定义，由此简明地导出极限理论，证明了该定义等价于原定义（ε－N），以及单调子列定理、单调归结原则等，该理论不仅便于教学，而且揭示了数列极限可归结到单调数时，最终归结到自然数列。     

周期连分数的快速逼近

本文通过建立一种新的数列｛ａｎ｝,其递推公式为ａｎ＝ａ２ｎ－１－２,得到了对周期连分数ｒ的快速逼近：ｒ＝ｌｉｍｎ→∞ａｎａ１ａ２…ａｎ－１,以及Ｐｅｌ方程的解的一个应用     

运用方程思想解决数列问题

运用方程思想解决数列问题肖林元（江苏省姜堰市二中２２５５００）方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一．应用方程思想常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题．本文就此举例如下：例１设数列｛ａｎ｝中，ａ１＋３ａ２＋５ａ３＋…＋（２ｎ－１）ａｎ...     

解数列题的方法和技巧

一、应用方程和函数思想解题我们知道数列是一种特殊函数 ,用函数的观点学习数列 ,能使我们更深刻地理解数列。而用方程的思想可以方便地解决数列中的计算问题。例１ :已知｛ａｎ｝是等差数列 ,｛ｂｎ｝是等比数列 ,｛ａｎ｝的公差ｄ和｛ｂｎ｝的公比 ｑ相等且都不等于１ ,ａ１＝ｂ１，ａ４＝ｂ４,ａ１０＝ｂ１０,求ａ１ 和ｄ。解 :由题意得 :ａ１＝ｂ１,ｄ＝ｑ例２ :一个等比数列 ,前ｎ项和为４８ ,前２ｎ项和为６０ ,求前３ｎ项的和。解 :设等比数列的首项为ａ１,公式比为 ｑ,显然 ｑ≠１ ,依题意得有 :例３ :已知ｆ（ｘ）是一次函数 ,且…