浅谈高等数学授课重点的安排

高等数学历来是高等院校许多专业的重要基础课程，它主要由４部分组成：微积分、微分方程、线性代数和概率统计。它的授课学时少、内容繁杂、涉及面广、概念抽象、公式众多，所以要讲授好这门课程，存在着一定的困难。总结多年的教学经验，笔者认为，合理安排高等数学的授...     

数学探索型试题分类解析

条件不完备和结论不正确是探索型试题的基本特征．解答探索型试题必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、猜想验证等方式去寻求解题途径．一、探索条件型试题这类试题的特点是：给出问题的结论，要求探索使问题成立的充分条件，使条件完备．例１给定三条直线l１：４x＋y＝４，l２：mx＋y＝０，l３：２x－３my＝４．当m为何值时，三条直线不能围成三角形？解析（１）若三条直线共点，由４x＋y＝４，mx＋y＝ 解得交点的坐标为（４４－m，４mm－４）．代入l３的方程得２·４４－m－３m·４mm－４＝４．解得m＝２３或m＝－１．（２）若两直线…     

二次根式的运算与平方法

平方和开平方互为逆运算．当我们把一个非负数同时实施这两种运算时，其值不变．这一事实已由公式（a√）２＝a（a≥０）表述出来．它在二次根式的运算中有着相当重要的作用，不可小视．例１设a＝２００３√＋１９９７√，b＝２００２√１９９８√，c＝２２００１√．试比较a、b、c的大小．解：由已知可得：a２＝４０００＋２２０００２－９√，b２＝４０００＋２２０００２－４√，c２８００４．∴a＜b＜c．例２若x＝４－３√，则分式x４－６x３－２x２＋１８x＋２３x２－８x＋１５＝．分析：因x＝４－３√，故４－x＝３√．两边平方得：x…     

八用乘法公式

乘法公式是初中数学中的重要公式，其应用极广．下面从八个方面举例说明如何灵活地运用公式解题．一、套用例１计算：（３x－４）（－３x－４）．分析：本题的两个因式中“－４”相同，“３x”符号相反，因此可将－４、３x分别视为平方差公式中的a、b，适当调整项的位置后即可套用平方差公式．解：原式＝（－４＋３x）（－４－３x）＝（－４）２－（３x）２＝１６－９x２．二、选用例２计算：（x＋y）２（x－y）２．分析：本题既可以先用完全平方公式，也可先用平方差公式，但先用平方差公式可简化运算，提高正确率．解：原式＝〔（x＋y）（…     

拆添项分解因式

师：因式分解这一章我们已经学完了，今天我们班学生自愿参加的数学兴趣小组开展一次活动。下面有六个二项式，请同学们进行因式分解。（教师板书：x２－６４、x２＋６４、x３－２７、x３＋２７、x４－６４、x４＋６４）生１：x２－６４和x４－６４可以用平方差公式分解；x３－２７和x３＋２７可以用立方和与立方差公式分解；x２＋６４和x４＋６４不能分解。师：我们先来研究x２＋６４，为什么x２＋６４不能分解因式呢？生１：……生２：教科书有一道例题：x４－y４分解因式后得到（x２＋y２）（x＋y）（x－y），所以x２＋y２不能再分解因式…     

你出现过这样的错误吗

例１计算（１）a１２÷a４；（２）x３n＋４÷x３n＋１．错解：（１）a１２÷a４＝a３；（２）x３n＋４÷x３n＋１＝x３n＋４－３n＋１＝x５．剖析：同底数幂相除的法则是“底数不变，指数相减”．（１）式的计算中，错把“指数相减”变成了“指数相除”；（２）式的计算中，法则虽没有用错，但在３n＋１的外面没有加上括号，导致符号错误，正确答案是：（１）a８；（２）x３．例２计算：（－２x）４÷（－４x）３错解：（－２x）４÷（－４x）３＝犤（－２）÷（－４）犦·x４－３＝１２x．剖析：－２和－４是括号内单项式的系数，可将（－…     

变形巧用完全平方公式

准确、熟练地运用乘法公式，常常能给解题带来方便．而将某些公式巧妙变形之后再用，就不仅能使解题过程简捷，而且令人有赏心悦目之美感，下面以完全平方公式为例，谈谈公式变形的应用．变形１由（a＋b）２＝a２＋２ab＋b２移项有a２＋b２＝（a＋b）２－２ab．例１已知a＋b＝１，a２＋b２＝２．求下列各式的值：（１）ab；（２）a４＋b４．解（１）由a２＋b２＝（a＋b）２－２ab，得２＝１２－２ab，∴ab＝－１２．（２）a４＋b４＝（a２＋b２）２－２a２b２＝（a２＋b２）２－２（ab）２＝２２－２×（－１２）２＝７２．变形２由（a－b）…     

用几何法解代数题三例

数学研究的对象———空间形式和数量关系是相联系的，可以转化的．有一些代数问题常常可借助于几何图形具体地、形象地呈现出来，便于现量与量之间的关系，易于求解．例１．已知关于x的方程１g（４x２＋４ax）＝（４x－a＋１）有唯一实数解，求a的取值范围．解：作y＝４x２＋４ax的函数图象，它与x轴两个交点：a＞０时，为（－a，０）和（０，０），如图１；＜０时为（０，０）和（０，－a），如图２．作y＝４x－a１的函数图象，它与x轴交于点（a－１４，０）．则原条件等价于两图象在x轴的上方只有一个交点．由图象可知，a应满足下列条件…     

初二数学期末试题参考答案

一、填空题： １．（ｘ＝３）（ｘ－３）： ２．８５°： ３．２ｃｍ＜Ｃ＜１２ｃｍ： ４．８０°： ５．６．－１： ７．二、选择题： １．Ｂ； ２． Ｄ； ３．Ｂ； ４．Ｄ； ５．Ｂ。三、因式分解： １．（２ｘ－５）（ｘ＋２）（ｘ－２）；２．（２ａ＋ ｂ－１）（ Ｚａ－ ｂ＋ １）； ３． ｘ（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ） （ｘ２＋３ｙ２）。四、计算：五、解答下列各题： １．由已知得ｘ－ｙ＝３ｘｙ，原式＝。 ２．＝３％。 ３．设自行车速度为ｘ千米／时，则汽车速度为３ｘ千米／时，根据题意，得，解得ｘ＝１５。答：自行车的速度为１…     

初一数学期末试题参考答案

一、填空题。二、选择题：１．Ｂ；２．Ｃ；３．Ｄ；４．Ｂ；５．Ｄ。三、－３＜－１．５　＜０＜２（－４）。四、计算：１．２　３．－３１。五、先化简再求值：１．ａｂ＋８ｂ２，６： ２．ａ２－６ｂ２，－２９。六、解下列方程：１．ｘ＝７；２．ｘ＝－５；３．七、列方程解应用题： １．设原两位数的十位数字为ｘ，则这个两位数是１０ｘ＋（７－ｘ），根据题意，得 １０ｘ＋（７－ ｘ）＝１０（７－ｘ）＋ｘ＋９，解得： ｘ＝４，１０ｘ＋（７－ｘ）。 ４３． 答：这个两位数是４３。 ２．设快车开出ｘ小时后与慢车相遇，根据题意，得…     

一类探索数学规律的创新中考题

近两年来，在各地的中考试卷中，出现了不少“从简单情况入手，由特殊情况转化，经过归纳，发现规律，猜想结论”的与数学有关的创新试题。这类试题对于培养学生的创新思维、收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，都很有益处。一、探索计数的创新题问题１观察下列等式：９－１＝８，１６－４＝１２，２５－９＝１６，３６－１６＝２０，……这些等式反映出自然数间的某种规律。设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：。（２００１年河南省）答案：（n＋２）２－n２＝４（n＋１）。问题２观察下列各式：１２＋１…     

高等数学（二）练习题

高等数学（二）练习题张运卿一、判断题１．若ｎ阶行列式Ｄ有ｎ个元素非零，则Ｄ＝０．（）２．若ｎ阶行列式Ｄ有多于ｎ２－ｎ个元素为零，则Ｄ＝０．（）３．若。阶行列式Ｄ有多于ｎ２－ｎ个元素相同，则Ｄ＝０．（）４．若矩阵Ａ与Ｂ相等，则Ａ与Ｂ完全相同．（）５．若...     

求极限的几种常用方法

极限概念是高等数学中最基本最重要的概念之一，但极限定义并未直接提供如何去求极限，求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手。本文总结几种常用的求极限的方法以供参考。１．一般地对于分母是“０”的情形。应先设法约分，再求极限。例：limx＋樤４－３x－５注：极限式中含有根号时，通常要进行分子或分母有理化。然后再约分，极限中能分解因式的，先分解因式再约分。２．对于x∞时，涵数的极限通常先在分子、分母同除以自变量或中间变量的最高次幂后设法利用limAn＝０或limqn＝０（｜q｜＜１）求得：例：lim３n…     

构造一元二次方程求值

学习了一元二次方程的有关知识后，对于某些求值问题，考虑构造一元二次方程来解，非常巧妙、简捷．下面举例说明．一、利用去分母构造例１如果x＋１x＝３，求x４＋３x３－１６x２＋３x－１７的值．解：已知等式去分母，得x２－３x＋１＝０，∴x２＝３x－１，x２－３x＝－１．∴x４＋３x３－１６x２＋３x－１７＝（３x－１）２＋３x（３x－１）－１６x２＋３x－１７＝２x２－６x－１６＝２（x２－３x）－１６＝２×（－１）－１６＝－１８．二、利用主元构造例２已知实数x、y满足５x２＋８xy＋４y２－４x＋４＝０，求x２＋y２的值．解：以x…     

一元一次不等式(组)考点例说(下)

考点五：一元一次不等式（组）综合题此考点是将一元一次不等式（组）与其他代数知识融为一体，考查学生综合解题的能力．例７求使方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋ 的解x，y都是正数的m的取值范围．解：解方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋３ 得x＝－m＋７，y＝２m－５ 由于它的解为正数．∴－m＋７＞０，２m－５＞０ 解得m＜７，m＞５２ 即５２＜m＜７．∴当５２＜m＜７时，原方程组的解都是正数．考点六：用一元一次不等式（组）解实际应用问题例８“五一”期间，某校由４位教师和若干名学生组成的旅游团，拟到国家４…     

用分组法解一类竞赛题

新颖别致的融思考性、趣味性、技巧性于一炉的竞赛题，解题策略很多。分组法是其中的一种。例１１＋２－３－４＋５＋６－７－８＋９＋１０－１１－１２＋…＋１９９７＋１９９８－１９９９－２０００＋２００１＋２００２等于多少？分析与解：除首尾两项之外，其余各项依次每四项分为一组，每组的计算结果都为０：２－３－４＋５＝０，６－７－８＋９＝０，……１９９４－１９９５－１９９６＋１９９７＝０，１９９８－１９９９－２０００＋２００１＝０，整个算式的计算结果等于首、尾两数之和。即原式＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７…     

因式分解错解分析

本文针对因式分解错解进行分析，同学们或许能从中受到启示．例１把ｘ２一４xｙ＋４y２－２ｘ＋４ｙ一３分解因式．解ｘ２一４xｙ＋４ｙ２－２ｘ＋４ｙ－３＝（ｘ２－４ｘｙ＋４ｙ２）一（２ｘ－４ｙ）－３＝（ｘ－２ｙ）２－２（ｘ－２ｙ）一３＝（ｘ－２ｙ）（ｘ－２ｙ－２）－３．评述这个结果只是部分出现积的形式，没有完全把原多项式化为几个整式的积的形式，不符合因式分解的要求，属于概念性错误．这里的关键是把．（ｘ－２ｙ）视为一个元素ｍ，则问题变为把ｍ２－２ｍ－３分解因式，由十字相乘法，易知ｍ２－２ｍ－３。（ｍ－３）…     

日本理化研究所第一次发现超重氦

日本理化研究所第一次发现超重氦理化研究所宣布曾参与了世界上氦－１０的发现，氦－１０是氦同位素中最重的一种。新发现的氦－１０由２个质子、８个中子组成，是氦－４的２．５倍重，氦－４的量占天然氦的９９％。氦－１０的寿命还不到４×１０￣（－９）秒。迄今已知的...     

二次根式复习要点

一、考点聚焦本章的主要考点有：１．二次根式的定义；２．二次根式的性质；３．最简二次根式；４．同类二次根式；５．二次根式的运算与化简．二次根式是一种重要的代数式，与整式和分式相比，概念和运算都比较复杂，难度也有所增加，所以在学习这部分知识时，首先要正确认识和掌握二次根式的概念与性质，其次能熟练地进行二次根式的化简与运算．二、例题点拨例１当x满足时，－４x√在实数范围内有意义．解：由二次根式的定义，得－４x≥０，x≠０解得x＜０．即当x＜０时，－４x√在实数范围内有意义．点拨：对an√，当n为偶数时，必须a≥…     

浅析解一元一次方程的常见错误

初一的同学在学习一元一次方程的解法时，常常会出现这样或那样的错误。现在，我把常见的错误解法归纳如下，以帮助同学们提高解方程的能力。一、移项不变号例１：解方程４－５x＝６x＋３错解：６x－５x＝３＋４x＝７分析：错误的原因是对移项法则没记住。移项时，把方程中的某些项从方程的一边移到另一边时，没有改变符号。正确的解法是：－５x－６x＝３－４－１１x＝－１x＝１１１二、去括号时常常出现以下两类错误运算１．去括号时漏乘某些项。例２：解方程２（x＋１）＝３（１－x）错解：去括号，得：２x＋１＝３－x移项，合并同类项，…