一道有奖征解题的解答

<正>有奖征解[1]对于任意给定的常数ρ≠0,ρ∈R,如果等式sinρθ+cosρθ+(sinθcosθ)ρ+1/sinρθ+cosρθ=2(2)ρ+(2)ρ2+(12)ρ(0<θ<π2)成立,求证sinθ+cosθ=2.证明显然,当ρ=2时,由已知等式化简,可得sinθcosθ=1/2,所以(sinθ+cosθ)2=2.又     

一道数学奥林匹克征解题的解答

题目设n是正整数，{A，B，C}是集合{1，2，3，…，3n}的一个分割，且满足｜A｜=｜B｜=｜c｜=n，其中｜S｜表示集合S中元素的个数．证明：存在x∈A，y∈B，z∈C，使得x、y、z中的一个数是另外两个数的和．     

对一道征解题解答的质疑与探究

<正>文[1]中,作者给出了第2604号问题的解答．该问题形式优美,引起笔者的兴趣,也对此进行探究,并发现文[1]对于问题(2)的解答有误,并得到问题的一个结论及猜想,故此成文,与大家分享．一、第2604号问题及原解答的呈现为了说明原解答的错误,先将文[1]中的第2604号问题及其问题(2)的解答过程摘录如下:题目已知a,b,c> 0,且abc=1.     

从一道问题征解题证明说起

正~~     

征解题8.2解答

征解题8.2解答 Rt△ABC中,艺C一900,点M是三角形三条中线的交点,从M作AB、BC和AC的垂线,垂足分别为D、E、F.如果AC一3,BC一12,求△DEF的面积.于公A梦。;多、弋下仁上ED沈、.目川工解AB一丫3“十工梦~丫巧3一3订17S△一省·3·12一18·过c作AB的垂线,垂足为11,交EF于G.则s△,Bc一要AB.cH一,8. 乙:.CH一18.23丫/1712丫/17人了E一FC-李Ac一d,cE一粤Bc一4 j…EF一、/cFZ十cEZ一、/1十4,~丫下丫EF .CG~CEoCF,CECF口n。一C一艺‘C厂4·14口p tL了一~~石二二石一一-二二二--二二{ 乙户厂,。/,。 V IJ V 11:.GH一CH一…     

高等数学征解题解答

本刊今年第一期征解题阅卷工作已于四月上旬全部结束。现按成绩评定一、二、三等奖人选,对于参加征解活动的所有学员也均给予纪念品。奖品和纪念品由本利陆续寄赠。现将获奖人员名单公布如下:一等奖:胡卫国(江西),魏景林(北京),周新民(江苏)。二等奖:冯志斌(北京),张箭北(湖南),常秀云(北京)。三等奖:李孟杰(北京),孙培德(浙江),吕刚(北京),丁苏川(北京),全静俞(北京)。     

对一道征解题的推广

《数学通报》1993年第6期问题解答栏第839题为: 若α,β,γ均为锐角,且满足cos~2α cos~2β cos~2γ=1,求证:ctg~2α ctg~2β ctg~2γ≥3/2。     

一道有用的征解题

贵刊1983年第1期《问题解答》栏中,谢大全同志采用解析法证明了这样一道命题:三角形ABC的内切圆切边BC于D点,在D点处向边BC引垂线交圆于点M,直线AM交边BC于E点。若|AB|>|AC|,则|BE|=|DC|。事实上,这里的条件|AB|>|AC|是不必要的。因为当|AB|=|AC|时,显然D、E两点重合,且为BC之中点,故|BE|=|DC|;当|AB|<|AC|时,我们也不难验证|BE|=|DC|。该命题很有实用价值,在这里,作者通过对三角形的一些点的对偶性的探讨,以提高学生对此命题的认识。首先证明下面一个命题。     

一道征解题的解题策略与视角

经典的数学问题往往背景新颖，呈现独特，内容丰富，内涵深刻，耐人寻味，给人启迪，有较强的启发性、代表性、拓展性，是理解巩固基本概念、深刻领会基本思想、培养掌握基本技能、启迪应用基本方法的好素材．若能经常对这样的问题进行多角度、全方位、深层次地思考，从中开发出解题的智慧，则可以大大提高分析问题、解决问题的能力，提高对数学问题本质的认识．下面的题目就是这样一道看似平淡无奇实则内涵丰富，深刻而不深奥，简约而不简单的数学问题，笔者对其进行了深入的思考，整理成文，以飨读者．     

对一道征解题及其姊妹不等式的推广

1征解题的提出 《数学通报》09年第9期问题1814：x,y,z∈R＋,λ〉0,μ≥0,υ≥0,且λ≥2μ-υ,λ≥2υ-μ,0〈α≤1.证明：（x/λx＋μy＋υz）^α＋（y/υx＋λy＋μz）^α＋（z/μx＋υy＋λz）^α≤3/（λ＋μυ）^α.     

试解一道国际征解题

《美国数学月刊》第99卷第7期的10238号征解题(由纽约市立大学布鲁克林学院的David M Bloom提供)是: (a)证明:存在无穷多个正整数a,使a 1和3a 1都是平方数;     

也谈一道征解题的推广

《数学通报》2001年第5期"数学问题"第1309题为:已知:a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2,…,b_n∈[1,     

一道数学征解题的指数推广

<正>~~     

一道征解题的推广及修正

在《中学数学教学》1993年第3期上,由安徽马鞍山市数学奥林匹克学校提供的《有奖解题擂台》题:在平面上,将半径分别为1,2,3,4,5,6的六圆,沿直线l排成一串(即六圆与l外切于六点,切点相邻的两圆外切),共有6!种排法,问哪种排法首尾两圆的外公切线最长?最短?并说明理由.此题原是这样解的:由题设可知,首尾两圆的外公切线的长度即为这六圆中相邻两国的外公切线的长度之和.又半径为r_1、r_2的两圆相外切时,外公切线的长度为:     

一道美国数学月刊征解题的简解

题目设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,文[1]、[2]、[3]、[4]分别给出了一个解答,都很巧妙,本文给     

一道美国数学月刊征解题的探究

题目设x、y、z∈（0,＋∞）,且x~2＋y~2＋z~2=1,求函数f=x＋y＋z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,一给出,就引起了广泛的关注.文[1]、文[3]、文[5]和文[6]都给出一种三角代换（即球面的参数方程）的解法,求解过程中还运用到导数的知识,运算繁杂难度较大,不易掌握.文[2]用＂抽屉原则＂给出一种解法,看似初等,但对于没参加过竞赛培训的普通中学生而言都不容易想到.文[4]虽给出一种简单的初等解法,但涉及高超的恒等变换技巧和幂平均不等式,也不简单.     

一道征解题的简证与推广

文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证　在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a　　 cb c· aa …