删繁就简 拨云见日——例谈多变量取值范围问题的降“维”处理

多变量范围问题,一直以来都是各地高考及模拟考试的热点问题．这类问题由于变量多且变量之间存在纷繁复杂的约束关系,处理起来往往是顾此失彼,难以人手,常令学生望而生畏．倘若能把多维（变量）降为二维甚至一维,那么问题自然就“删繁就简,拨云见日”了．以下是多变量范围问题降维处理的常见手段．     

谈“降维思想”在解决数学问题中的运用

数学中的“维”指的是一个数学问题中元素的自由度,即该元素的坐标数.“降维”则通过一些数学方法,将高维的数学问题降为低维,从而使复杂的数学问题得到简化,达到解决数学问题的目的.本文就“降维思想”在解决数学问题中的运用,谈本人的思考.     

利用辅助平面解题

转化思想是数学思想方法中的精髓,降维是转化思想中的重要方法,在立几解题中,把空间问题转化为平面问题(即由三维降为二维),就是将空间的点、线、面的位置关系转化为同一平面上的位置问题来研究,常常借助于辅助平面,本文谈谈辅助平面的作用。     

用平面法向量证明平行或垂直

证明直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直问题,是立体几何中最常见也是最重要的问题.这类问题的求解,通常运用"降维"的思想,即将面面问题"降维"为线面问题,将线面问题"降维"为线线问题来处理,这是一种"化归"的思想.但如果借助平面法向量这个工具,也可以很简捷地解决问题.本文结合具体案例介绍用平面法向量来证明平行与垂直的问题.     

高考试题对空间向量教材的"建设作用"

多年来，我国的中学教材都没有引进向量，近几年不仅引进向量，而且鼓励各学校用“高二《数学》第二册下（B）”（以下简称“下B”）替代传统的立体几何教材．为什么会这样呢？原因是多方面的，与“下B”配套的教师用书指出主要原因是：使用空间向量处理立体几何问题，为传统方法解决技巧性大、随机性强的问题提供了一些通法，使对向量问题的研讨达到了有效运算的水平；“下B”不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具，因而降低了学生学习的难度，减轻了他们的负担．     

二维抛物型方程非齐次边值问题的高精度差分格式

针对二维非齐次抛物型方程提出了高精度紧致差分格式，本文将把在[2]中二维问题的差分格式在空间方向上提高到四阶，对其进行了收敛性分析，证明其收敛阶为o（△t^2＋hx^4＋hy^4），并采用ADI算法将二维问题降为一阶求解。     

平移变换是解几的重要方法

平移变换是解几的重要方法黄万尧（江苏高邮市中学２２５６００）平移变换体现了对应、映射、变换的数学思想．在解几中，利用这个思想方法，可把“非标准型”圆锥曲线转化为“标准型”圆锥曲线．为了切实理解平移变换（移轴）的意义，掌握化简曲线方程的方法，并会用于解...     

巧用坐标法解立体几何问题

众所周知,立体几何是平面几何的延拓,即二维空间到三维空间的延拓,处理立体几何问题,最基本的方法是“降维”,也就是说,把三维空间转化为二维空间,把空间图形转化为平面图形,最终化为一个平面几何问题来解决.当然,有时我们也用代数思想来解决立体几何问题.但是,对于用解析几何思想去研究立体几何问题就显得少之又少.下面,笔者将介绍一种用解析几何思想去解决立体几何问题的方法——坐标法.     

三角综合题解法分析

三角函数与方程、函数、三角形、圆结合，便可构成丰富多彩的综合题．这类题常出现在中考试卷中．在解这类题的策略上，常用到转化思想和分解思想，即把问题转化为边角关系、线段的相等关系、比例关系来解或者化整为零、各个击破．现以中考题为例分类分析其解法思路‘一、三角函数与二次函数相结合例1如图1，抛物线y—一X’＋pX＋g与X轴交于A、D两点，与y轴交手c”点，＊ac？s一90”，且ig二C？AO一tgzCBO—2二（）求此二次函数的解析式；（2）略．分析设A（xI，0）、B（x。，0），其中xIndo，x厂＞0．只须求出xl＋x2和x；x2即可．结…     

“棱法向量法”求二面角——有棱二面角的“另类”向量解

我们知道,高中数学中,求二面角大小的方法通常有两类,一是用传统几何法“先作后求”;二是用空间向量法（主要为“面法向量法”）“只算不作”.前者因植根定义,易为学生理解,但对如何作出二面角的平面角（即如何将二面角的平面角构造在有效图形中）有一定的“技术难度”（尤其在某些“恶劣环境”下）,学生较难掌握;而后者虽无需构造出二面角的平面角（仅凭计算即可解决）,但却存在着“平面法向量方向不易判断”的“硬伤”.那么,有没有一种既能兼顾两者优点,又能回避彼此不足的方法？本文介绍有棱二面角的“另类”向量解——“棱法向量法”,并例说其应用.     

向繁运算中的“平方法”

向量兼具形和数的特征,与长度（距离）和方向（夹角）有关的问题,可通过向量的运算解决．若解决起来有困难,则可尝试用“平方法”,将问题中向量的模、向量的夹角和向量的数量积有机地联系起来,从而使问题迅速获解．下面举例予以说明．     

和初一同学谈解方程组的思想方法

从代数课本第一册（下）第15页可以知道：解二元一次方程组的两种基本方法是代入消元法和加减消元法．这两种方法的基本思想是“消元”，即消去一个末知数，将“二元”转化为“一元”，从而把“末知”转化为“已知”．为什么要把二元转化为一元呢？因为我们已经掌握了一元一次方程的解法．解数学题总是设法把它转化为一个熟知的、简单的问题来解．例如解三元一次方程组，通过消元转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程来解．具体思路如图所示：下面谈谈用代入法、加减法消元时应注意的几个问题．一、无论用代人法或加减法消无，当方程…     

基于语义向量的汉语动词“看”用法研究

动词“看”是现代汉语最高频的动词之一，具有多义性和多功能性。运用语义向量和降维技术，可以对“看”类结构的语义进行可视化呈现，将所有包含“看”的词汇短语体现在同一个二维平面上，距离越近，表示语义越相似。经过MDS降维后，“看”类表达在有修饰语和无修饰语时差别明显，“看”的四字结构与其他结构具有明显的差别。经过t-SNE聚类，“看”的结构出现了以词干为核心的聚类。说明“看”类的内部语义差异主要由有无修饰语、长度、词干三个因素造成。     

立体几何教学中的降维与升维策略

<正>数学中,维是指一个问题中元素的自由度,即该元素的坐标数,如数轴上点的维数是1,平面内点和直线的维数是2,在空间中点和平面的维数是3等等.降维则是通过一些数学方法,将高维的数学问题降为低维的数学问题,从而使问题简化,达到解决问题的目的.降维,作为一种数学方法,意指如：一般问题的特殊值解法,多元减为少元,立体几何问题转化为平面几何问题等等.降维方法是处理数学问题的一种行之有效的方法,但在教学中还不仅要介绍降维方法,     

复数辐角主值的理解及其应用

复数辐角主值是复数的重要内容．根据教材中复数辐角主值的解释，ａｒｇｚ可以理解为表示复数ｚ的向量　（或射线ＯＺ）与ｘ轴所夹的正角由复数减法的几何意义，可以理解为表示复数的向量（或射线 Ｚ１Ｚ２）与ｘ轴所夹的正角．因此，将复数辐角主值转化到图形上，就会使与此相关的题回避免繁琐的计算，达到迅速求解的目的． 例１ 求复数的辐角主值． 解 此题解法大多都是通过三角转化，分类解决的．现给出另一解法： 设 ｚ二 Ｉ＋ｃｏｓ６＋ｌｓｉｎ６＝。＋ｙｉ，（。，ｙ。Ｒ），则 ＩＳ一回 十四０８Ｈ． １（Ｕ＄＜Ｚｎ）． 巳可 二 百…     

借助几何图形求两个随机向量和的分布

借助几何图形解题是一种常见的方法。几何图形直观、具体、形象、生动，能充分调动人们的感觉器官，活跃思想、激发兴趣、提高空间想象力。放利用几何图形把问题具体化、形象化，使问题易于解决。两个随机变量和的分布是概率论的难点，对于初学者尤为如此。故借助几何图形把空间形式与数量关系具体化，这样降低了问题的难度，使两个随机变量和的分布易于解决。这里仅举出借助几何图形，用一分布函数法”求连续型随机向量（x，y）和的分布。一、被积函数定义在整个xoy平面上非零。例1、已知（x，y）的联合密度为解：如图二、被积函数定义在xo…     

例析向量运算中的“平方法”

向量引入高中数学,为解决数学问题提供了新的工具和载体．向量兼具形和数的特征,与长度（距离）和方向（夹角）有关的问题,可通过向量的运算解决．若解决起来有困难,则可尝试用“平方法”,将问题中向量的模、向量的夹角和向量的数量积有机地联系起来,从而使问题迅速获解．这种方法可化难为易,曲径通幽,具有事半功倍的效果．下面举例予以说明．     

浅谈变“斜”为“直”的应用

转化思想在数学中应用十分广泛，我们在解数学题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，在解直角三角形中，许多问题就可以通过转化，构造直角三角形，变“斜”为“直”．     

“坐标向量”热潮中的冷思考

近几年高考中有一种“高烧不退”的现象：高考立体几何解答题的标准答案几乎清一色用的是坐标向量法（另一种为综合几何法）．在这股热潮中,笔者作了一次冷思考,觉得好像这种“现象”过头了,这种趋势不好．首先,非坐标向量也是向量,并且它是向量的起点和基础．其次,它具有较大的自由性,它对发展学生思维有很好的作用,坐标向量的这种作用相对较差．第三,它的应用范围更广泛,一些问题用坐标向量难以解决,用非坐标向量容易解决;在一定程度上坐标向量可以看成非坐标向量的一种特殊形式和特殊表现．第四,非坐标向量更直接体现了：     

降维法解题

变量的个数称为“维数”,平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式,线段定比分点公式,直线的斜率公式以及点到直线的距离公式,都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影,将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题,化二维空间的问题为一维空间的问题,