巧用｜｜a｜-｜b｜≤｜a｜＋｜b｜解题

我们知道，｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜对任意实数a、b恒成立．注意到这个不等式取等号和不取等号的条件，可以巧妙求解绝对值问题．[第一段]     

隐含｜Z｜=1的十种类型解题举例

以|Z|=1为条件的问题是复数中最典型的问题之一，这种问题可以渗透于复数题的各种类型．也有许多问题，从表面上看没有|Z|=1这一条件，但从其条件中可以得出|Z|=1，我们称之为|Z|=1的隐含条件问题．件问题．     

巧用｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜解题

我们知道，｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜对任意实数a、b恒成立，注意到这个不等式取等号和不取等号的条件，可以巧妙求解绝对值问题。     

a^→·b^→=｜a｜^→·｜b｜^→cosθ公式在立体几何中的应用

在空间向量中，有公式a^→·b^→=|a|^→·|b|^→cosθ，若从向量的几何意义上去理解和应用该公式，将大放异彩．     

用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．     

函数y=m1｜x-a1｜＋m2｜x-a2｜＋…＋mn｜x-an｜的最值探讨

关于函数y=m1｜x-a1｜＋m2｜x=a2｜＋…＋mn｜x-an｜的最值问题,通常采用数形结合的方法．     

方程ax~2 b|x| c=0的求解

对于形如ax2 b|x| c=0(a≠0)的方程求解问题,不少同学不知如何入手,其实,只要对绝对值的概念和一元二次方程求解的基本方法能够牢固掌握和灵活运用,此类问题并不难解决.     

导数与不等式

通过构造函数,利用导数研究函数的性质(单调性、最值等)与图像,可以用来证明不等式或求解含参不等式中参数的取值范围等问题．一、证明不等式例,已知a,b∈R,求证：(|a b|/1 |a b|)≤(|a|/1 |a|) (|b|/1 |b|)·证明：令f(x)=(x/1 x),x≥0,则f′(x)=(1/(1 x)~2)＞0．故f(x)在[0, ∞)上是单调递增函数．∵|a b|≤|a| |b|,∴f(|a b|)≤(|a| |b|)．即(|a b|/1 |a b|)≤(|a| |b|/1 |a| |b|)=(|a|/1 |a| |b|) (|b|/1 |a| |b|)．     

最值问题常见错解剖析

众所周知，最值问题在中学数学教学中占有重要的地位．由于此类问题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，具有一定的深度和难度，一些学生在求解时常常出现种种错误，而且有的还相当隐蔽．现选取几种常见错误加以剖析，目的在于防患于未然．一、忽视变量的变化范围致误例IO为线段AB的中点，P为一动点，已知|AB|＝6，|PA| |PB|=10，求|OP|的最值．错解设|PA|=x，则|PB|=10-x，据三角形中线长公式，得∴当x=5时，|OP|min=4,|OP|无最大值．剖析取x=1∈(0.10)，即|PA|=1，|PB|=9，则|PB|-|PA|=8＞|AB|=6，矛盾…     

｜X｜的进一步理解与应用

｜x｜就是数轴上表示数x的点与原点之间的距离，所以，当x≥0时，｜z｜=x；当x〈0时，｜x｜=-x．本文试图将｜x｜的含义进行延伸并给出一些运用举例．     

偶然性中蕴含着必然性——对z1＋z2∈R的思考

1问题的提出请看如下两道常见的复数题：（1）已知z∈C且|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z．（2）虚数z满足|z-2|=2且R，求z．在这两题中，都有两复数之和为实数的条件．求解过程中，我们能够发现，分别根据z5一二，上一三，即可方便快捷地得出结论．但我们又清楚地知道：Z；＋ZzER是Z；一Z。的必要而非充分条件．因而上述结论纯属“偶然”．辩证地思考，这偶然性的背后是否蕴藏着某种必然性呢？于是，我们提出了如下问题：在什么条件下，命题“若均二Z。，则Z；＋Z。E正”的逆命题为真？2问题的律决笔者经过探索得出如下结论：结论1若约，12…     

关于带第一特征值λ1具Sobolev临界指数2^＊的一类椭圆方程—△u=λ1u＋｜u｜^2^＊—2u＋τ（x,u）

给出了半线性椭圆方程-△u=λ1u |u|^2^*-2u τ(x,u)的Dirichlet问题在对扰动项τ（x,u）增加适当条件后非平凡解的存在性定理，以及方程-△u=λu-|u 2^*-2u h(x),λ∈[λ1,λk]（这里λk是方程-△u=λu的第κ个互不相等的特征值）的非零解的存在性定理。     

数量积性质a^-2=｜a^-｜^2在解题中应用

数量积性质a^-2=|a^-|^2的最大优越性是架起了向量与数量沟通的桥梁，为将有关向量问题与数量问题相互转化提供了途径，在解题中有着极为广泛的应用．     

应用不等式求值(初二、初三)

不少问题从表面上看似乎与不等式(组)无关,但若仔细考查其条件,发现可用不等式(组) 求解．请看五例． 1．利用绝对值的非负性例1 设x,y,a都是实数,且 |x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a2), 则|x| y a5 1=＿. 解由 |x|≥0,|y|≥0,知道又-a2 a-1=-(a-(1/2))2-(3/4)<0, 所以要使(*)成立,当且仅当a=1,     

有关探索性问题的解法探究例说

有关探索性问题的数学命题作为对学生探索性能力的考查已列为近两年高考数学命题的重点内容之一．由于这类题对学生的分析问题和解决问题的能力要求比较高，因此，不少学生对此感到无从下手．本文通过例题对这类问题进行归类和分析，说明解这类题的一般方法和思路．一、有关条件的探索性问题例1已知z_1=x 5 yi,z_2=x-5 yi,x,y∈R,，要使|z_1| |z_2|=6，还需增加什么条件？分析：欲使|z_1| |z_2|=6，即由此易知点（x，y）到点（一5，0），（5，0）的距离之和为6．用点（x,y）表示x yi,x~2/9 y~2/4=1因此还需加条件：点（x，y）的轨迹是椭圆…     

构造向量利用“m&#183;n≤｜m｜｜n｜”解题

向量是高中数学教材新增的内容，它给高中教材注入了活力，为解决数学问题提供了新的T具．对于一些代数问题，若根据题目特点构造相应向最，再利用小等式“m&#183;n≤|m||n|”来解决，往往比常规解法更灵活、巧妙、简练，也有助于激发学生强烈的求知欲和埘新知识的渴求．     

上期《你会解答吗?》参考解答

初一年级1．应用数形结合的思想方法求解．由已知条件可知：－a＜0，－b＞0，|a|＜|b|．在数轴上标出a、b、－a、－b各数（如图），从数轴可看出，它们的大小关系是：b＜a＜a＜b．2．若直接计算，计算量是比较大的；若用字母表示数，则运算就简单了．设a—1995，则1996一a＋1．原式=a（＋1）X10001－（a＋1）XaX10001=03．解法一设五个正整数分别为51、1z、13、1。、15，且103分别减去75、79、82、86、90，即得所求的五个正整数为28、24、21、17、13．解法二设五个正整数的和为X，则这五个正整数分别为即103分别减去75、79、82、86、90，…     

对方程α^x=｜logαx｜解的个数的思考

文[1]和文[2]各有一道方程α^x=|logαx|习题和例题，经过研究发现两题都是错的，并引发了一些思考，写出来供大家参考和继续研究．     

可行域｜x｜＋｜y｜≤1的画法

一、问题引入 问题1（2011年湖北省高考卷理科第8题）已知向量a=（x＋z,3）b=（2,Y—z）,     

两类绝对值方程的简便解法

解形如|x-a| |x-b|=2c(2c>b-a>0)或|x-a|-|x-b|=±2c(b-a>2c>0)的方程,一般用分段讨论法、函数图象法或用其它方法求解.下面介绍一种简便的解法——中心对称法.