平面向量与解析几何的交汇渗透

向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的“桥梁”,是中学数学知识的一个交汇点.数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点处设计试题,因此解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向.我们在复习解析几何时应适时地融入平面向量的基础知识,渗透平面向量的基本方法.知识回顾1.|AB|→线段AB的长.注意:AB2=|AB|2.2.AB=λBC→点A、B、C共线(λ>0、λ=0、λ<0时,A、B、C三点的相对位置关系如何?).3.OC=λ1OA λ2OB且λ1 λ2=1→点A、B、C共线.4.AB.BC=0→AB⊥BC.5.∠ABC为钝角→BA.BC<0(但不…     

高考解析几何综合试题考点解析

高考解析几何综合题与代数、三角、向量等诸多知识联系在一起,以其复杂多变、综合性强、解法灵活,知识覆盖面宽,注重测试逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用等特征而成为高考的中档题或压轴题.下面介绍高考解析几何综合试题的考点及其求解思路和方法.考点1　求曲线的弦长例1　(2002年上海高考题)已知点A(-3,0)和(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点.求线段DE的长.解析:斜率为k的直线交曲线于点A、B,则弦长|AB|=1+k2AB(xA+xB)2-4xAxB.运用此公式和韦达定理可简捷地解决弦长问题…     

圆锥曲线综合问题

圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点,它常与函数、方程、导数、不等式、数列、平面向量等内容交叉渗透,知识跨度大,题型新颖别致、解法灵活,思维抽象强,能力要求高,它既是高考的热点题型,又是颇难解决的重点问题,在高考中占据着举足轻重的地位.近些年,高考对圆锥曲线的考查总体难度有所降低.ZHONGDIAN NANDIAN重点难点重点:熟练掌握求曲线方程的常用方法,会根据曲线方程研究平面曲线的性质,主要涵盖动点的轨迹问题、定点定值问题、参数取值     

高考中哪些知识与函数交汇

以能力立意是高考数学命题的指导思想,在知识网络交汇点处设计试题是高考命题的新特点和大方向.近几年高考的函数、数列、平面向量和圆锥曲线试题加大了与相关知识交汇的力度,交汇性试题在这种背景下应运而生.本期特组织了四篇文章,专门针对高考中常考的知识交汇点进行分析,力图为同学们复习交汇性问题指明方向,从而起到抛砖引玉的作用.     

提高创新能力三法

求二面角的大小 ,基本作法是算其平面角的大小 ,但平面角没有固定位置 ,高考中因其定位失误而丢分的现象颇多 .本文举例介绍几种常用的途径 ,帮助同学们掌握要领 .一、利用棱或两个面的垂面【例 1】　在三棱锥S-ABC中 ,SA⊥底面ABC ,AB⊥BC ,DE垂直平分SC ,且分别交AC、SC于D、E两点 ,又SA =AB、SB =BC,试求二面角E-BD -C的度数 .解 :∵SB =BC、DE垂直平分SC ,∴SC ⊥BE、SC⊥平面BDE、∴平面SAC ⊥平面BDE .∵SA⊥底面ABC ,∴平面SAC⊥平面BDC .∴∠EDC为E -BD-C的平面角 .∵AB ⊥BC、AB =SA、SB =BC …     

日趋活跃的“定比分点”

新教材将旧版<平面解析几何>中"定比分点"置于<平面向量>这一章,以向量语言重新加以定义,使得定比分点成为平面向量与解析几何的绝佳交汇点. 在直线与圆锥曲线相交弦中设计与定比分点交汇的综合性试题,已成为新高考命题的一个亮点. 综观2004年全国及11省市十几套高考试卷,此类试题推陈出新,百花齐放,可谓美不胜收. 下面撷取几例,探讨解题规律.     

高考中哪些知识与函数交汇

以能力立意是高考数学命题的指导思想．在知识网络交汇点处设计试题是高考命题的新特点和大方向．近几年高考的函数、数列、平面向量和圆锥曲线试题加大了与相关知识交汇的力度,交汇性试题在这种背景下应运而生．本期特组织了四篇文章,专门针对高考中常考的知识交汇点进行分析,力图为同学们复习交汇性问题指明方向．从而起到抛砖引玉的作用．     

对一道直线族包络试题的探究

<正>2014年高中数学联赛安徽初赛第7题:设动点P(t,0),Q(1,t),其中参数t∈[0,1],求线段PQ扫过的平面区域的面积.设线段PQ扫过的平面区域为G,点P在x轴上运动,点Q在直线x=1上运动,所以x轴和直线x=1是区域G的边界,解决问题的关键是获得区域G的其他边界.既然是区域边界,     

数形结合巧解直线斜率相关问题

例1已知点A(2,1)、B(1,2),直线y=ax(a∈R)与线段AB有交点,试求常数a的取值范围.解析由图1和已知条件可得,直线的倾斜角均y B(1,2)A(2,1)ox图1yoxB(-1,2)A(1,2)图2yox图3(2,2)是锐角.根据正切函数y=tanx在x∈(0,!2)中单调递增,可得a(a是直线y=ax的斜率)的取值范围为a∈[kOA,kOB],即a∈[21,2].例2已知点A(2,1)、B(-1,2),直线y=ax(a∈R)与线段AB有交点,试求常数a的取值范围.解析由图2和已知条件可得,直线的倾斜角可能是锐角,也可能是钝角.函数y=tanx在x∈(0,!2)与x∈(!2,!)中分别单调递增,可得a(a是直线y=ax的斜率)的取值范围为a∈[kOA, ∞)∪(-∞,kOB],即a∈[12, ∞)∪(-∞,-2].点评例1与例2的区别是正切函数在相应直线倾斜角所限定范围内的单调性不一致,例1中正切函数在倾斜角的范围内是单调递增的,而例2中正切函数在倾斜角的范围内不是单调函数,这往往被同学们所忽视.例3已知点P(x,y)满足(x-2)2 (y-2)2=1,直线y=ax(a∈R)与点P的轨迹(即所有...     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

例析日本高考“向量”试题

向量既有几何特征又有代数特征,所以向量成为中学数学知识的一个交汇点,也成为近年来高考命题的一个重要的热点素材.其实,日本高考题对向量早就“宠爱有加”.下面评析几道日本高考的向量试题. 例1八,Rc的3边长AB二l.Bc=v石~,cA二2,设庙=。,即1一为+t=0.……①同理可得赫藤奇+2一4t=“,即4+s一8t=0.一②联立①②可求得,一夸,t=夸·庙二,.回答下列问题:(1)求内积u·v:(2)△ABc的外心(外接圆中心)为。,若砧=s。十tv,求实数s,t. 点拔:内积即向量的数量积;三角形的外心是其三条边垂直平分线的交点.解:(1)丫前疵菇,…}酬州“一,12·…6二}u}2一…     

2012高考平面向量问题亮点呈现

平面向量是高中数学的重要知识,是高中数学中数形结合思想的典型体现.近年来,高考对平面向量知识的命题,呈现出"综合运用,融会贯通"的特色,充分彰显对平面向量知识的考查,很好地体现了在知识的交汇点处命题的指导思想,发挥着向量的工具作用.点击2012年高考平面向量题型,犹如一道亮丽的风景线展现在我们面前.     

高考直线和圆基础试题考点解析

《考试说明》要求考生:1理解直线斜率的概念;掌握直线方程的五种形式,能根据已知条件求出直线方程;2掌握两条直线平行与垂直的条件及其应用;会求两条直线的夹角和交点;3了解二元一次不等式表示平面区域和线性规划的意义,并会简单应用;4掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.下面介绍高考直线和圆的考点及其解析.考点1　求斜率取值范围例1　(2003年新课程卷高考题)已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点为P2…     

解析几何中动点轨迹问题的新背景

探求动点的轨迹是解析几何题中的一个重点,也是历年高考考查的一个热点,解决这类问题的难点在于如何分析问题中所给的已知条件,即问题的背景材料.因此,教师在解题过程中要注意知识之间的横向联系,引导学生分析题中的背景材料,将问题化难为易.下面从近三年的高考试题中精选几题,供各位读者赏析.一、以平面向量为背景1.以平面向量的基本定理作为问题背景.例1(2003年高考题)O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足!O“P=!O“A λ!A“B｜!A“B｜ ｜!!AA““CC｜#$,λ∈[0, ∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的().A.外心B.内心C.重心D.垂心分析设AB与AC方向上的单位向量分别为“e1和“e2,因为!O“P-O!“A=!A“P,则原式可化为!A“P=λ(“e1 “e2),那么在△ABC中,很容易知道AP平分∠BAC,则知选B.解决此题所用的都是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若教师十分熟悉这些知识,又能迅速地将它们迁移到一起,解决这道题将很容易.2.以平面向量的数量积作为问题背景.例2(2005年高考题(文))点O是三角形AB...     

例说平面向量与解析几何的结合

高考命题注重知识的整体性、综合性 ,常在知识的交汇处设计试题 .高中新教材增加了平面向量这一新内容 ,由于平面向量既具有几何形式 ,又具有代数形式 ,因而它成为中学数学知识的一个交汇点 ,备受命题者的青睐 .平面向量与解析几何的结合将是高考命题的趋势 .本文通过例题说明用平面向量解决解析几何问题 ,使二者达到完美结合 .一、基本知识( 1)向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 b =λa.推论 :OA ,OB是平面内两不共线向量 ,对于向量OP总存在 a,b满足 :OP =a OA + b OB( a,b∈ R) ,则A、P、B…     

巧用法向量 妙解高考题

在新教材中,将空间向量引入到立体几何中,使几何常规问题坐标化、数量化,使复杂的推理转化为代数运算,大大降低了立体几何解题的难度.尤其是法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.本文结合2005年全国高考数学两道试题,例谈平面法向量及其应用.【例1】(湖北题/文史)如图1所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.分析:此题命题意图主要是考查线面关系和空间距离的求解等基础知识,同时考查空间想像力和推理与运算能力.在解…     

立体几何中轨迹问题的探索

立体几何中的求轨迹问题是考查同学们空间想象能力和识别几何图形能力的题型,同时也考查了同学们应用解析几何的能力,这正和高考命题趋势———考查知识点的交汇点相一致.下面归纳总结之.一、可化为圆锥曲线定义的轨迹问题例1如图,圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一     

例谈向量背景下常见动点问题的求解

<正>一、动点问题在向量中的考察分析动点的轨迹问题是高考的热点,以向量为背景的动点轨迹和相关最值问题更是高考的宠儿,深受命题者的青睐.这类题目以向量为背景考察向量的线性运算、数量积、面积、动点轨迹方程以及与圆有关的最值问题等相关知识,通过适度联系与综合,在知识交汇处考查学生的数学思维方法和能力.求解以向量为背景的动点问题需要结合向量的数与形两方面属性,熟练运用数形结合和化归的思想,以明确动点的轨迹为解决     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

解析几何复习应重视与平面向量的融合——新课程高考解析几何题的启示

平面向量是高中数学新教材的一章重要内容.它的引入,给高中数学带来了无限生机.由于向量具有代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点.数学高考重视能力立意,在知识网络的交汇点上设计试题.因此,解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势.