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1.
第46届IMO(2005年)第三题是:
题1设x、y、z >0,且xyz≥1.证明:
∑x5-x2/x5+y2≥0, ①
其中,∑表示轮换对称和.
式①的等价形式为
∑x2+y2+z2/x5+y2+z2≤3.
此不等式有很多证法,本文不再赘述.
易知,x2+y2+z2≥33√x2y2z2 ≥3.
自然的想法是将题1中的... 相似文献
2.
第46届IMO第5题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
试题:给定凸四边形ABCD,BC=AD,且BC不平行于AD,设点E和F分别在边BC和AD的内部,满足BE=DF,直线AC和BD相交于点P,直线EF和BD相交于点Q,直线EF和AC相交于点尺.求证:当点E和F变动时,△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点.[第一段] 相似文献
3.
第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数… 相似文献
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对第46届(2005年)IMO第5题的探究 总被引:1,自引:0,他引:1
第46届(2005年)IMO第5题是一道优秀的平面几何题,它考查的重点是圆过定点的问题。本题的平均得分为2.16分(满分为7分),难度系数为3.86,属于难题的范围。这应当引起各国教育部门和数学教育家的注意。应用平面几何知识,堵养学生观察图形以及分析问题、解决问题的能力是非常必要的。我们从3方面对此题进行探究:(1)圆过定点的位置;(2)一般情况下的证明;(3)把图形运动变化成任意四边形。 相似文献
5.
第46届IMO试题解答 总被引:2,自引:0,他引:2
1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选取点A1、A2,在边CA上选取点B1、B2,在边AB上选取点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.(罗马尼亚提供)2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数 相似文献
6.
第33届IMO于1992年7月在莫斯科举行,由俄罗斯主办。本届组委会共征集到试题65道,经初步筛选后,提交领队会议讨论的预选题为22道(先提交了前18题,后又补入4题)。 相似文献
7.
第35届IMO预选题 总被引:1,自引:1,他引:0
本届预选题一共24题,其中6题已选为考题,现将其余18题刊登出来,供师生们参考,解答将陆续给出。 代数部分(共5题) 1.(美国)设a_0=1994,对任何非负整数n,a_(n 1) 相似文献
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1.设a、b、c是正实数,并满足abc=1.证明: ab/(a~5 b~5 ab) bc/(b~5 c~5 bc) ca/(c~5 a~5 ca)≤1,并指明等号在什么条件下成立. 2.设a_1≥a_2≥…≥a_n是满足下述条件的n个实数,对任何整数k>0,有a_1~k a_2~k … a_n~k≥0成立.令p=max{|a_1|,|a_2|,…,|a_n|}.证明:p=a_1,并且对任何x>a_1,均有 相似文献
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2005年第46届IMO的第6题(罗马尼亚命题)是一个组合问题:
某次数学竞赛共有6个试题,其中任意两个2/5试题都被超过吾的参赛者答对了.但没有一个参赛者答对所有的6个试题.证明:至少有两个参赛者恰好答对了5个试题. 相似文献
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第43届国际数学奥林匹克竞赛第2题为: 1.BC为圆Γ的直径,Γ的圆心为O,A为Γ上的一点,0°<∠AOB<120°,D是弧AB(不含C的弧)的中点,过O平行于DA的直线交AC于J,OA 相似文献
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题目 设 n≥ 2为正整数 ,开始时 ,在一条直线上有 n只跳蚤 ,且它们不全在同一点 ,对任意给定的一个正实数 λ,可以定义如下的移动 :( 1 )任意选取两只跳蚤 ,设它们分别位于点 A和 B,且 A位于 B的左边 .( 2 )位于 A点的跳蚤跳到点 B右边的点C,且 BCAB=λ.要使跳蚤跳得任意远 ,试确定所有可能的正数 λ.分析 本题是第 41届 IMO中国队得分率最低的一道题 ,仅一人全对 .本题看似容易 ,答案也不难猜测 .但在否定 λ<1n- 1 时却很困难 ,原因是跳蚤初始位置千变万化 ,移动顺序错综复杂 ,如果从细节着手 ,剪不断理还乱 .下面解法从整体着手 … 相似文献
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《中等数学》1993,(3)
1.首先,二一y一l是一组解.其次,如果(二,y)是一组解,有y)x,那么,考察整数对(x:,y),其中 犷+从~x·‘T 1.(二)显然.由(,)可知,二,与y的任何公约数都是m的约数,又由(2)知,该公约数亦为,的约数,因此,有 (Jl,夕)=1. 此外,由(2)和(*)可知 二2(x}+m) 一(犷+m)’+尹m ~犷十Zn理2+m(‘扩+胡)是y的倍数.由于(二,y)一1,因此·(一二、,y)满足题设条件(1)一(3).再由(二)知.二,>y,因而这一过程可无限多次进行下去,使我们私l到无穷多组合乎条件的整数. 2.记j一’‘’(、)=j’(f‘””(x)),其中,,一1,2,…,且 f‘“‘(x)~、r,f‘”(,)=f(二).利用这些记号… 相似文献
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说明各国向第30届IMO共提供了107道试题(我国提交的试题由于某种原因,组织委员会未能收到),选题委员会从中初选出32道题供主试委员会决定.这些题可以列成一个简表: 相似文献
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第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且 △ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即 ∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理 等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的… 相似文献
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题 设ABCDEF是凸六边形,满足AB=BC=CD,DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60°。设G和H是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠DHE=120°。 相似文献