有心圆锥曲线不等式的建立及作用

定理1设x2/a2+y2/b2=1,则a2+b2≥(x+y)2,当且仅当x/a2=y/b2时上式取等号. 证明a2+b2=(a2+b2)(x2/a2+y2/b2)=x2+y2+b2x2/a2+a2y2/b2≥x2+y2+2xy(x+y)2.     

双曲线形不等式及应用

不等式求最值,是高中的一个重点,也是一个难点.本文推出一个简单的不等式,其结构由双曲线方程而得出,故简称双曲线形不等式.定理:已知a,b≠0,且有x2/a2-y2/b2=1,則有a2-b2≤(x-y)2,当且仅当b2 x=a2 y时取等号.证明:(a2-b2)·(x2/a2-y2/b2)=x2+y2-(b2 x2/a2+a2 y2/b2)≤x2+y2-2bx/a·ay/b=x2+y2-2xy=(x-y)2,     

一类基本不等式题型的最值

本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab^1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab^1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p²/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S^1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值.     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

一个不等式的再推广

问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1　已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)…     

精心联想 巧证不等式

联想是以观察为基础,对研究的对象或问题,联想已有的知识和经验进行形象思维的方法.通过联想,构造相应的条件,从而解决问题.【例】　设x、y∈R+,且x+y=1,求证:(x+2)2+(y+2)2≥252.联想一:巧用“a2+b2≥2ab”法1:直接法由x+y=1,得(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4x+4y+8=(x+y)2+4(x+y)+8-2xy=13-2xy又∵x、y∈R+,由均值不等式,∴x+y≥2xy,即xy≤14,则-2xy≥-12.故(x+2)2+(y+2)2=13-2xy≥13-12=252.证毕.法2:间接法令a=x+2,b=y+2,则a+b=(x+2)+(y+2)=x+y+4=5(定值)∵a2+b2≥2ab,两边同时加上a2+b2得a2+b2≥(a+b)22即(x+2)2+(y+2)2≥[(x+2)+(y+2)]22=252.…     

一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

基本不等式题型的最值问题

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.     

一个无理不等式及其应用

在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式: 问题 设a≥x＞1,b≥y＞1,c≥z＞0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)＜√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.① 等号仅当a:x=b:y=c:z时成立. 下面给出不等式①的几个应用.     

一个不等式的推广及其特殊证法

本文约定字母均表示正数。 (1)如果a+b=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 25/2 ① (2)如果a+b+c=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2+(c+1/c)~2 ≥100/3 ②一般地,如果sum from i=1 to n a_i=1, 则 sum from i=1 to n(a_i+1/a_i)~2≥(n~2+1)~2/n ③下面只证不等式②、③。引进三元函数 W=(x+1/a)~2+(y+1/b)~2+(z+1/c)~2,那么它的几何意义是动点P(x,y,z)到定点(-1/a,-1/b,-1/c)的距离的平方。     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

基本不等式的别证及其它

基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S²/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P.     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

两个对称式的不等式的推广

本文推广了如下两个关于对称式的不等式 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 　 (x ,y ,z∈R ,x≥y≥z >0 ) ,ab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a)≤ 32 (a +b) (b +c) (c +a) ,(a ,b ,c∈R+ )     

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+…     

一道不等式最值问题的错解与多解

例已知x,y∈R ,常数a,b∈R ,且满足a/x b/y =1,求x y的最小值．错解一因为x,y∈R ,所以x y≥2(xy)~(1/2),当且仅当x=y时取等号．由x=y及a/x b/y=1解得x=y=a b,所以(x y)mm=2(a b)．     

椭圆中利用1的代换解题几例

<正>若点A(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上的一点,则x02/a2+y02/b2=1,此式可变形为b2x02+a2y02/a2b2=1.这样,就可以将与椭圆有关的一个式子中的1用b2x02+a2y02/a2b2(或a2b2/b2x02+a2y02)代换,从而达到解题的目的.     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

一个优美的不等式及其妙用

定理若x、y、a、b均为实数,且a>0,b>0,那么(x2)/(a)+(y2)/(b)≥((x+y)2)/(a+b)(※)等号成立当且仅当(x)/(a)=(y)/(b).证明不等式(bx-ay)2≥0显然成立,当且仅当(x)/(a)=(y)/(b)时取等号.