椭圆的一个有趣性质及其应用

性质椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B的连线PA、PB与对称轴不平行,则直线PA、PB的斜率之积为定值.证明如图1所示,设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1).∴x2a2+y2b2=1,①∴x21a2+y21b2=1,②由①-②得x2-x21a2=-y2-y21b2,∴y2-y21x2-x21=-b2a2,∴KPA·KPB=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y21x2-x21=-b2a2为定值.这条性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性,因而能简洁地解决问题.推论若M是椭圆的弦AB之中点,则直线OM与直线AB的斜率之积为定值.证明如图2所…     

椭圆的一个有趣性质及其应用

性质椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A,B连线PA,pb与对称轴不平行,则直线PA,PB的斜率之积为定值.证明如图1,设P(x,y),A(x2,y1),则B(-x1,-y1).所以x2/a2+y2/b2=1①所以x12/a2+y12/b2=1②     

一类动点轨迹方程的统一求法——一道2003年上海市春季高考题的引申及应用

2003年上海市春季高考解析几何试题是: 设M、N是椭圆x2/a2+y2/b2=1 (a>6>0)上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kpM、kpN,那么kpM·kPN是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2/a2-y2/b2=1写出具有类似特点的性质,并加以证明.     

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

圆锥曲线的渐屈线和曲率圆

曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2.     

同心椭圆与圆的一个性质

<正>已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),点A1,A2分别为C的左、右顶点.结论1如图1,若椭圆C和动圆C1:x2+y2=t2(b相似文献   

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

有心圆锥曲线的一个有趣现象

问题1 设MN是垂直于椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)长轴的一条动弦,A1A2是椭圆的长轴,则动直线MA1与NA2的交点轨迹是双曲线x2/a2-y2/b2=1.     

通过直径探究椭圆的性质

定义1过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.引例若动点P(x,y)与两定点A(-a,0),B(a,0)连线的斜率之积为定值-ab22(a>b>0),求动点P的轨迹方程.图1解如图1,直线PA,PB的斜率分别为kPA=yx a,kPB=yx-a(x≠±a),由已知kPA·kPB=-ab22,得x y a·x-y a=-ab22,化简得动点P的轨迹方程为xa22 yb22     

2005年湖南卷理科19题（Ⅰ）的简证

题目已知椭圆C:(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).     

由一道高考题引发的思考

2005年湖南高考理科19题(文科21题第一问题同): 已知椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).     

一类直线与圆锥曲线的关系

讨论了直线XOXa2-yoyb2=1与双曲线x2a2-y2b2=1;直线x0xa2+y0yb2=1与椭圆x2a2+y2b2=1;直线y0y=p(x+x0)与抛物线y2=2px的位置关系。     

对一道2014年高考浙江解析几何题的探究

<正>2014年高考浙江卷理科第21题,如下:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(其中a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a、b、k表示点P的坐标;(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离最大值为a-b.     

2014浙江高考理数第21题的分析与巧解

2014浙江高考理数第21题:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.标准答案:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由     

双曲线定点弦的一个结论

文[1]介绍了椭圆定点弦的一个结论:命题设P是椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点,M(-λ,0),M2(λ,0),(其中λ∈R,λ≠0,λ≠±a)是x轴上的两个定点,直线PM1,PM2分别与椭圆相交于P1,P2,过P1,P2的切线交于P′点,则点P′的轨迹     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…     

对2014年高考山东文科卷压轴题的探究

2014年高考山东文科卷压轴题:在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,直线y=x被椭圆C截得的线段长为4√10/5. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点, (i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积最大值. 本文将本题第(Ⅱ)问第(i)小问作一般化推广,并将结论类比到双曲线.     

解析几何中的一个快捷键——圆锥曲线的割线的斜率

1.定义:如果一条直线l交圆锥曲线C于A、B两点,则称直线l为圆锥曲线C的割线. 2.公式:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、AB的中点N(x0,y0). 椭圆:x2/a2+y2/b2=1的割线AB,则kAB=-b2x0/a2y0. 双曲线:x2/a2-y2/b2=1的割线AB,则KAB=     

一道高考题的另解

题 (Z009安徽理科20题第一小题)点P(x0,y0)在椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上,x0=acos,y0=bsinβ(0＜β＜π/2).直线l2与直线l1:x0/a2x+y0/b2=1垂直,O为坐标原点.直线OP的倾斜角为a,直线l2的倾斜角为γ.