再探等差与等比数列前n项和的性质

文[1]作者得到下列两个性质:①若数列{a_n}是以口a₁为首项,d为公差的等差数列,则a₁Ca_n⁰+…+a_n+1C_nⁿ=（a₁+n/2d）·2ⁿ.②若数列{a_n}是以a₁为首项,q为公比的等比数列,贝a₁C_n⁰+a₂C_n¹+…+a_n+1C_nⁿ=q（1+q）ⁿ.文[2]作者得到性质:对于任意以口l为首项,q为公比的等比数列{a_n}（a₁≠0,q≠0）,任意以b₁为首项,d为公差的等差列{b_n},总有:     

柯西不等式的若干变式及其应用

柯西不等式是由法国数学家柯西最早发现的,因而被命名为柯西不等式.由不等式2ab≤a²+b²,这里只要令a=a₁b₂,b=a₂b₁,便可得到,二维的柯西不等式为（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）,而等号成立时就是完全平方公式,这时a=b,也就是a₁:a₂=b₁:b₂.n维的柯西不等式为:设a₁,a₂,…,     

高考数列解答常考哪些知识点

考点1:等差数列与等比数列的综合问题高考真题1（2014年高考湖南理科卷第20题）已知数列{a_n}满足a₁=1,|a_n+1-a_n|=pⁿ,n∈N^*.（Ⅰ）若{a_n}是递增数列,且a₁,2a₂,3a₃成等差数列,求p的值;（Ⅱ）若p=1/2,且{a_2n-1}是递增数列,{a_2n}是递减数列,求数列{a_n}的通项公式.难度系数0.55     

一道高考数列题的解法赏析

题目设数列{a_n}的前n项和为S_n,满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1,n∈N^*,且a₁,a₂+5,a₃成等差数列。（1）求a₁的值。（2）求数列{a_n}的通项公式。这是2012年普通高等学校招生全国统一考试广东卷（理科）的一道数列题（第19题）,它蕴含着多种解题方法。现给出第二问的7种解法,供参考。解法1:由（1）得a₁=1。     

三路“大军”大破数列综合题

题目数列{a_n}中,a₁=1,a_a+1=1/2a_n²-a_n+c（c>1,且c为常数,n∈N^*）,a₃-a₂=1/8.（1）求常数c的值.（2）①证明:a_na+1;②猜想数列{a_n}是否有极限,如果有,写出极限的值（不必证明）.（3）比较（?）1/a_k与40/39a_n+1的大小,并加以证明.对于此题的（1）（2）问作答是比较容易的.在第1问中,由递推关系     

一道课本习题的解法探究

人教A版必修五教材第69页的习题6为:已知数列{a_n}中,a₁=5,a₂=2,a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）,对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?与教材配套的教师用书给出了如下解答:由a_n=2a_n-1+3a_n-2,得a_n+a_n-1=3(a_n-1+a_n-2),及a_n一3a_n-1=-(a_n-1-3a_n-2),于是a_n+a_n-1=（a₂+a₁）·3^n-2,a_n-3a_n-1:（a₂-3a₁）·（-1）^n-2.     

解答数列不等式题的四大易错点

一、没有关注数列中刀应该是正整数例1已知数列{a_n}满足a₁=33,a_n+1-a_n=2n,则（a_n）/n的最小值为_<sub>.难度系数0.70错解由a_n+1-a_n=2n叠加有（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+(a_n-a_n-1)=2[1+2+3+…+（n-1）],化简整理得     

一道数学练习题的启示

<正> 在全日制普通高级中学教科书（必修）数学（人教版）第一册（上）第137页上有这样一道题目:有两个等差数列{a_n},{b_n},且（a₁+a₂+…+a_n/b₁+b₂+…b_n）=（7n+2/n+3）,求（a₅/b₅）。这是一道利用等差数列的性质（在等差数列{a_n}中,若 m+n=p+q,则 a_m+a_n=a_p+a_q）和等差数列前 n 项和的公式[S_n=（a₁+a_n）·n/2]求解的综合试题。本文想通过这道题目的求解思路和方法,给出解这类问题的一般思路和方法。首先来解这道题:     

不同的思考方向引出不同的解法

在人教版普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）第二章《数列》习题2.5A组中的一道题目:在等比数列{a_n}中,已知a₃=/2,S₃=9/2,求a₁与q.根据题目条件,不同的思考方向会为我们引出不同的解法,在算法上也有所体现.思考方向一:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念及已知量a₃与要求的量q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,又S₃=a₁+a₂+a₃=a₃(q^-2+q^-1+1),所以q^-2+q^-1+1=3,即aq²-q-1=0,解得q=1或q=-1/2.当q=1时,a₁=3/2;当q=-1/2时,a₁=6.思考方向二:根据已知联想到和的定义式S₃=a₁+a₂+a₃,出现两个未知数a₁、a₂,利用等比数列的概念用基本量a₁与q表示未知数a₁、a₂求解.解:因为a₃=3/2,S₃=9/2,所以（?）     

排序不等式的应用举例

设有两个有序数组a₁≤a₂≤…≤a_n及b₁≤b₂≤…≤b_n.则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n（顺序和）≥a₁b_j1+a₂b_j2+…+a_nb_jn（乱序和）≥a₁b_n+a₂b_n-1+…·+a_nb₁（逆序和）。其中j₁,j₂,…,j_n是1,2,…,n的任一排列。当且仅当a₁=a₂=…=a_n或b₁=b₂=…=b_n时等号（对任一排列j₁,j₂,…,j_n）成立。以上就是新课程介绍的排序原理（或排序不等式）,以前是竞赛数学中的一个重要的不等式,现在新增至高中数学选修教材中。排序不等式和柯西不等式一起作为两个基础而重要的不等式,形式优美、意思非常简单明了,很容易理解和记忆,而且它的应用十分广泛和而又富有技巧性,掌握和利用好排序不等式,对证明不等式,比较大小,求最值,以及解决一些应用题都很有帮助,体现了数学的对称美,有利于培     

一道高三模考数列题的解法探究

试题(2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测第20题)已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₁=1,S_n+1+S_n=a²_n+1(n∈N^*).(Ⅰ)求a₂,a₃的值,并写出数列{a_n}的通项公式.     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

递推数列求通项 活化思维有保障

<正>若数列连续若干项之间满足等量关系a_n+k=f (a_n+k-1,a_n+k-2,…,a_n),则称其为数列的递推关系.由递推关系和k个初始值可以确定一个数列，称数列{a_n}是递推数列.例1数列{a_n}中a₁=1, a_n=a_n-1+2n-3，求该数列的通项.解析:由a_n=a_n-1+2n-3，得a_n-a_n-1=2n-3，因此有a₂-a₁=1, a₃-a₂=3, a₄-a₃=5,     

构造新数列 巧解竞赛题

例1数列{a_n}中,a₁=1,a_n+1=1/（16）(1+4a_n+（1+24a-n）^1/2求a_n.分析本题的难点是递推关系式中的（1+24a_n）^1/2的处理,可构建新数列{b_n},令b_n= （1+24a_n）^1/2,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形.     

求通项6招

1.累加法（逐差相加法）例1已知数列{a_n}满足a₁=（1/2）,aⁿ⁺¹=a_n+(1/（n²+n）,求a_n.分析一般地,可将递推公式a_n+1=a_n+ f（n）转化为a_n+1^-a_n=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解.     

巧用常数列求通项

求通项公式是数列的基本问题,是解决数列其他问题的基础和前提,但是求数列通项时灵活性较强,往往直接求解有困难,通常需要转化,这就给我们的学习带来一定的困难,但在求通项时,如果能巧妙应用常数列去解题会达到事半功倍的效果,下面举例来说明.例1设数列{a_n}是首项为1正项数列,且（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0（n=1,2,3,…）,求它的通项公式.解法1因为（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0,     

一类数列单调性的探究

数列是定义在正整数集或其子集{1,2,3,…,n}上的特殊函数,数列的函数特征——单调性,在近几年各省市的高考中有充分表现.有一类递推数列可表示为a_n+1=f（a_n）的形式,这类数列的单调性与函数y=f（x）的单调性之间的关系密切.本文先给出几个数列单调性的结论,然后例析其应用.定理1设a_n+1=f（a_n）,若y=f（x）在某指定连续区间D上单调递增,对于任意a_n∈D.（1）当a₁2时,数列{a_n}单调递增;（2）当a₁>a₂时,数列{a_n}单调递减.我们用数学归纳法来探究:假设当n=k时,若     

对一道高考试题的引申

本文对陕西省2009年文科高考题中的一道数列题进行引申,并给出一般性的中等数学的处理方法.陕西省2009年文科数学高考题第21题:已知数列{a_n}满足a₁=1,a₂=2,a_n+2=(a_n+a_n+1)/2,n∈N*.（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n,证明,数列{b_n}是等比数列;     

求递推数列的通项

数列是高中数学的重要内容,求递推数列的通项是高考的热点之一.其主要方法有归纳、累和、累积、换元、取倒数、待定系数等方法.下面通过对几个例题的解析分别介绍这几种方法.例1①已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=a_n+3,求通项;②已知数列{b_n}满足b₁=1,b_n+1=2b_n,求通项.分析:本例①为等差数列,②为等比数列,可用归纳法或迭代的方法求出其     

用待定系数求数列的通项

求数列通项时,经常遇到这样两类问题,需要构造新数列使之成为等比（等差）数列,归纳方法如下.一、形如a_n+1=α·a_n+β（α、β为常数）a_n+1+λ=α·a_n+β+λ=α·（α_n+（β+λ）/α）,令λ=（β+λ）/α),则λ=β/（α-1）·a_n+1+β/（α-1）=α·（α_n+β/（α-1））,所以数列{a_n+β/（α-1）}是以a₁+β/（α-1）为首项,以α为公比的等比数列,所以a_n+β/（α-1）=（a₁+β/（α-1））·α^n-1.所以a_n=（a₁+β/（α-1））·α^n-a-β/（α-1）.