从连分数的计算谈起

连分数（continued fractions）是以特殊的方式将若干分数相结合来表示实数f，形如f=ao＋b1, a1＋b2 a2＋b3/a3＋ … 其中a0、a1、a2、a3、…和b1、b2、b3、…为整数，当b1=b2=b3=…=1时，可得简单的连分数，形如     

一个不等式的推广

命题 已知a，b〉0，且a＋b=1,求证：a/a^3＋b^4＋b/a^4＋b^3≤16/3. 这是《数学通报》2007年第10期刊登的数学问题第1696题，本文将之推广为一般的形式．     

课时三 二次三项式的因式分解

例题分析 例1 已知a b=10，ab=21，求(1)a—b的值；(2)a^2 ab b^2的值．     

错在哪里

忽视验证致错 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求f(2)的值. 错解:f'(x) =3x2 +2ax+b. 由题意得｛f'(1)=0,f(1)=10(=)｛3+2a+b=0,1+a+b+a2=10(=){a=4,b=-11或｛a=-3,b=3.     

自然数范围内穷尽勾股数的求法

在初中几何课本中,找勾股数是由下式:a=2n、b=n~2-1、c=n~2 1(n>1)用 n=2、3、4、…代入得出,但是用这种方法并不能得出已知条件下所有的一切勾股数.例如,我们给定a=24,采用这种方法只能得出b=143,c=145.而另外的6组:b=70,c=74;b=32,C=40;b=10,c=26;b=45,C=51;b=18,c=30;b=7,C=25等勾股数却不能直接求出.那么是否有一种方法能将这7组勾股数一并求出呢?下面我们不妨来做一次探讨.     

一类问题的求解通法

先看一个具体例子 .题目 :若a lga =10 ,b 10 b =10 ,则a b的值是 (　　 )(A) 8　　 (B) 10　　 (C) 11　　 (D) 12解法 1　 (估值法 )设 f(x) =x lgx ,g(x) =x 10 x,则它们在各自的定义域内都是增函数 .∵ f( 9) =9 lg 9<10 ,f( 10 ) =10 lg 10=11>10 ,∴ f( 9) 相似文献   

两位数乘法的速算

一、“首同末合十”的两位数乘积的速算 “首同末合十”是指两个两位数,它们的十位数字相同,个位数字之和为10． 设有两数分别为10a＋b,10a＋c,且b＋c=10,则有： （10a＋b）（10a＋c）=100a^2＋10a（b＋c）＋bc=100a（a＋1）＋bc．     

完全平方公式变式的应用

完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，（a－b2=a2－2ab＋b2是《整式的乘除》一章的两个重要公式，除了直接用于计算两数和的平方，两数差的平方外，如果将它们适当加以变形，其用途更广泛，作用更大．下面将这两个公式的几种变式及其应用举例说明，借以开拓初一同学的解题思路，提高灵活运用知识解题的能力．变式1：a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a2＋b2=（a—b）2＋2ab．例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2＋b2，n=c2＋d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是mn=________．（1986年全国初中数学联赛试题）（1992年“给云杯”初中数学邀请赛…     

初相角有没有取值范围——从教科书例题解答过程的省略谈起

题 普通高中课程标准实验教科书《数学4(必修)》(人教社A版)第60页例1:如图,某地一天从6 ～ 14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这一天6～14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 教科书对第(2)问的解答:从图中可以看出,从6～14的图象是函数y=Asin(ωx +φ)+b(*)的半个周期的图象,所以A=1/2(30-10)=l0,b=1/2(30+10)=20.因为1/2·2π/ω=14-6,所以ω=π/8.将A=10,b=20,ω=π/8,x=6,y=10代人(*)式,解得φ=3π/4.     

例说两数列的相等项

下面请看与两数列的相等项有关的例子.【例1】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠0),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,求实数a1和d的值.分析:由题意知,an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由a4=b4,a10=b10得a1+3d=a1d3a1+9d=a1d9整理得d6+d3-2=0,解得d3=1或d3=-2.∵d≠1,∴d3=-2,即d=-32.将d=-32代入a1+3d=a1d3,得a1=32.【例2】在等差数列5,8,11,…,302与等差数列3,7,11,…,299中,有多少个相同项?错解:记这两个数列分别为{an}和{bn}.易知an=3n+2,bn=4n-1.设an=bn,则3n+2=4n-1,n=3.所以这两个数列中只有第3项相同.错因:在求两数列{an}与…     

相似形探究

【知识归纳】1.比例线段的有关概念及比例的性质;2.平行线分线段成比例定理及有关结论;3.相似三角形的有关概念;4.相似三角形的判定及性质;5.常见相似图形.【例题分析】1.已知2a-ba 3b=-110,则ab=.解:(1)利用比例的基本性质将2a-ba 3b=-110变形得:10(2a-b)=-(a 3b),进一步整理可得:ab=13.(2)由已知可设:2a-b=-k,a 3b=10k,组成一个方程组2a-b=-ka 3b=10,解之得:a=kb=3.至此,也不难得出ab=13.2.已知:如图(1),D点为△ABC边AB上一点,且∠1=∠2,求证:ACBC=ADBD.分析:此题的证明方法很多,下面我们简单地列举几种.如果CA=CB,结论显然成立.…     

(二十一)相似三角形测试卷(Ⅰ)

一、填空题（每空4分，共60分）：1．已知线段a=4cm，b=9cm，那么线段a和b的比例中项c=______cm．2那么a：b=______3．已知，那么______4．如图1，在ABC中，一直线截AB、AC于D、E．已知ADE=ZABC，EC=8cm，那么AC=______cm．5．已知线段a=2cm，b=3cm，c=10cm，欲使a、b、c、d成比例线段，则应取d=______cm；6．如图2，如果CD为直角ABC斜边AB上的高，那么Rt凸ACD与______和______相似．7如图3，如果D、E分别是凸ABC两边AB、AC的中点，那么ADE______，AD：AB______8．设ABC，且它们的相似比为2：3．已知AB=6cm，BC=9cm，…     

1986年献礼

1.若(a b)/(a-b)=(b c)/(b-c)=(c a)/(c-a) 求证:|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 【证明】:由条件(*)知a、b、c两两不等,且abc≠0,对(*)式用合分比定理得a/b=b/c=c/a=x≠1从而c=ax,b=cx=ax~2,a=bx=ax~3 ∴ x~3=1,可见x是1的立方虚根w或w~2。∴ c=aw,b=xw~2或c=aw~2,b=aw~4=aw, 于是|a~(1986)|=|(aw~2)~(1986)|=|(aw)~(1986)| 故|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 2.证明:是合数【证明】:=10~(1986)-1/9=(10~(993))~2-1/9=((10~(993) 1)(10~(993)-1))/9     

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…     

浅谈"两边夹不等式"

大家都熟知等比定理：若a/b=c/d，则a/b=（a＋c）/（b＋d）=c/d若将条件中的等式改为不等式，如a/b〈c/d，那么结论如何呢？已知a、b,c,d都是正数，且bc〉ad，则a/b〈（a＋c）/（b＋d）〈c/d．这是课本上的一道练习题（高中数学第二册（上）（人教版）第14页练习第5题），教学中若不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了．笔者在高三复习的后期回归教材的教学时。将此题抛给了学生，收到了意想不到的效果。     

两位数乘法的速算

一、首同末合十的两位数乘积的速算首同末合十是指两个两位数,它们的十位数字相同,个位数字之和为10.设有两数分别为10a+b,10a+c,且b+c=10,则有:(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc=100a(a+1)+bc.     

谈证明“1/a＋1/b=k/c”型题的策略

当证明某图形中的三条线段a、b、c具有形如上1/a＋1/b=k/c的关系时，需先将它变形为c/a＋c/b=k，     

几个“形异质同”的相同元素排列与组合问题

定理：将a，a，a，…，a，b，b，…，b（其中有m个a，n个b）进行排列，共有Am＋n m＋n/Amm·Ann=Cmm＋n种不同的方法．     

循环小数理论的一个应用

设x=a,a:…a。,夕二b、,,…b。(a,,6,为数码),。为自然数,叮二xxlo,一‘+梦·如果 Me=夕X 10片+x,那么M是将x八10七一。){七为(纯)循环小数时的一个循环节(不唯一). 证:设。为以M为循环节的纯循环小数,则。二0.万1…。、。、十,…‘。,:az…a、b‘.+x…b,、 9…99…9OC二ax…a、b、十x…b。g…99…9又f(2 X 10伟一左+夕): 99…9夕卫夕性士兰_b:,1…b,al…a99…99…99…9二0b*+l…b,al…1戈)念。=al、一a、.b召舜,、1…b:ax…a*, …(10全一e)。即。=二/(10公一c)二al”’a远二X 例.形如42…;长此数.的数乘以2,42移到末尾,由定理知:=42,论…     

图形的相似专题训练（二）

一、填空题1.已知四条线段a,b,c,d是成比例线段,其中n=6,b=10,d=15,则c=——．