两道有多余条件的竞赛题

1990和今年的全国初中数学联寒,都有两道赛题是有多余条件的。 1990年试题第一试第5题:△ABC中,AB=2 2~(1/2),AC=2~(1/2),BC=2,设P为BC边上任意一点,则() (A)PA~2PB·PC; (D)     

条件真的多余吗

《中学教研》(数学)1992年第四期刊登的题为《两道有多余条件的竞赛题》一文,我阅读以后,觉得其中有纰漏和错误之处。在此,提一下本人的拙见。题一△ABC中,AB=2 2~(1/2),AC=2~(1/2),BC=2。设P为BC边上任意一点,则( )。 (A)PA~2PB·PC; (D)PA~2与PB·PC的大小关系不能确定。其中的AC=2~(1/2)确实是多余的条件,而文中得出的结论:“通过上述讨论,可以知道,在△ABC中,P是BC上任意一点,若AB>BC,必有PA~2>PB·PC。”却不能恒成立,不妨     

数学问题与解答——1994年第2期问题解答

326.△ABC中,AC=BC,点P在AB上,M、N分别是△APC、△BPC的外心,如果MN=PC,求证:PA~2,PC~2,PB~2成等差数列。 证:连结CM、PM、CN、PN,由正弦定理,PC/sinA=2·CM=2·PM,PC/sinB=2·CN=2·PN,∵∠A=∠B,∴CM=PM=CN=PN。 又∵MN=CP,∴四边形CMPAN为一正方形,且∠A=1/2∠CMP=45°,∠B=1/2∠CNP=45°。     

等腰三角形的一个性质

性质 如图1，在△ABC中，若AB=AC，点P在BC边上，则AP^2＋BP·PC=AB^2．     

简洁而丰富 简约而深刻——对2019年安徽中考第23题的赏析

1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3.     

与费马点有关的又一不等式

命题设max(A,B,C)<120°,点P是△ABC内的费马点(即△ABC内满足∠BPC=∠CPA=∠APB=120°的点),BC=a,CA=b,AB=c;△ABC的内切圆半径为r,点P到三边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,则有a~2r_1 b~2r_2 c~2r_3≥1/3(a b c)~2·r (1) 等号成立当且仅当△ABC为正三角形。证明:记PA=u,PB=v,PC=w;△ABC、     

等腰三角形的一个性质及应用

等腰三角形有如下一个不被大家重视的性质: 定理 △ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,则AB~2=AP~2 BP·PC。 证明 如图1,作AD⊥BC于D,则 AB~2=BD~2 AD~2 (1) AP~2=DP~2 AD~2 (2) (1)-(2)得 AB~2-Ap~2=BD~2-DP~2=(BD-DP)(BD PD)=(CD-DP)·BP=BP·PC。     

关于三角形内点的一个向量命题

命题　若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明　延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1　当P为△ABC的内心时 ,有sin…     

由向量关系式判断三角形形状

一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状.     

一道赛题的“多解”与“多变”

例1在△ABC中,∠ABC=45°,P是BC边上一点,PC=2PB,∠APC=60°,求∠ACB的度数．     

Steiner定理及其逆定理与四道几何赛题的新证

Steiner定理[1]设D,E是△ABC的边BC上两点,且∠BAD=∠CAE.则有AB2=B-DD·BE.其逆命题也成立,即有 Steiner定理的逆定理设D,E是△ABC的边BC上的两点,若有AB2/AC2=BD·BE/CD·CE,则∠BAD=∠CAE.     

一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

张角公式帮你解几何题

平面几何中有一个与面积关系有关的张角公式,一般不引人注目。但在教学时,却发现张角公式能帮助解决许多几何题,有的还是典型的难题。现分两方面介绍如下,供初中数学教师教学时参考。一、张角公式已知由点P发出的三射线PA、PB、PC;且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α β<180°,那么A、B、C三点在一直线上的充要条件是: sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:若A、B、C三点共线, 则△PAB=△PAC △PCB 故 1/2PA·PBsin(α β)=1/2PA·sinα 1/2PB·PCsinβ两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所欲证的等式。反之,若命题中等式成立,则反推可得: △PAB=△PAC △PCB。这说明△ABC=|△PAB-△PAC-△PCB|=0,所以A、B、C三点共线。     

一九九八年全国高中数学联合竞赛加试试题及解答

一、(本题满分50分)如图,O、I分别为ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上.求证:△ABC的外接半径等于BC的旁切圆半径.注:△ABC的BC边上的旁切是与边AB、AC的延长线以及边BC相切的.证明 设AI的延长钱交圆ABC于K点,半径OK记为R.因为OK⊥BC,所以OK∥AD,从而AI/IK=AD/OK=c·sinB/R=2sinBsinC①AI/IK=S△ABI/S△KBI=[1/2AB·BI·SINB/2]/[1/2BK·BI·SIN(A B)/2]=AB/BK·[sinB/2/(cosC/2)]     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献   

数学问题与解答 2010年第2期问题解答

786．如图1，在△ABC中，已知∠A=60°，I为△ABC的内心，IF／／AC，交AB于F，∠BFP=1/2∠B,点P在BC上，求证：PC=2BP．     

成果集锦

直角三角形的一个充要条件黑龙江省绥化市北林区五中　王　航　　定理　在△ABC中,CD平分∠C ,则∠C =90°的充要条件是1AD2 1BD2 =2CD2 .①证明:如图,作BE∥AC ,AF∥BC ,分别交CD的延长线于点E、F ,则有CDDE =ADDB =DFCD .若∠C =90°,则∠CBE =∠CAF =∠C =90°,∠BCE =∠ACF =45°,BC =BE ;AC =AF ,于是由DF =ADDB·CD知2AC2 =AC2 AF2 =CF2 =(CD ADDB·CD) 2 ,类似得　2BC2 =(CD DBAD·CD) 2 .以上两式相加,注意到AC2 BC2 =AB2 ,AD DB =AB ,即得2AB2 =CD2 ·AB2 ( 1AD2 1BD2 ) ,即…     

斯台沃特定理的一个特例及应用

斯台沃特定理(stewart):在△ABC中,D是BC上的一点(如图1), 则AD~2=(AC~2·BD AB~2·DC/BD DC)-BD·DC. 当△ABC为等腰三角形时,便有 特例:在△ABC中,AB=AC,D为BC上的 点,则AD~2=AB~2-BD·DC. 此结论有很重要的作用.尤其是某些等腰三角形问题,若考虑该结论,则解法往往来得简捷、明快.兹举例说明.     

一道课本习题的引申

题目求证:G是△ABC的重心的充要条件是GA GB GC=0.证明:(1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以GA=32DA=32(DC CA)=23(21BC CA),同理可得:GB=23(21CA AB),GC=23(21AB BC),所以GA GB GC=2312BC 12CA 21AB CA AB BC=23×23(CA AB BC)=0→.(2)充分性:     

一个定理的一个联想

先介绍定理:在△ABC中,∠A=2∠B的充要条件是a~2=b~2 bc。只要延长CA至D使AD=AB,则显然△ABC∽△BDC。充分性必要性易证,下面主要谈谈由此产生的二个联想: 联想一:若△ABC中∠A=3∠B,三边关系如何? 过A点作AD交BC于D,使