公式(×■)×■=(■)■-(■■)的一个证明

引理设a、b为任意矢量,则(a×b)×a=(a)~2b-(ab)a. (1) 证明若a或b为0,則显然.设a、b均不为0.若a×b=0,则a=λb(λ∈R),代入(1)知右边也为0.若a     

数学问答

116 .问 :函数 f(x) =x2 |x -a| 1的最小值是多少 ?(huangkun1988@tom .com)答 :f(x) =x - 122 a 34(x≤a) ,x 122 34-a(x≥a) .若a≤ - 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上单调递减 ,其最小值为 f(a) =a2 1;f(x)在 [a , ∞ )上的最小值是 f - 12 =34-a .因a2 1≥ 34-a ,故 f(x)的最小值是 34-a .若 - 12 ≤a≤ 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上单调递减 ,其最小值为 f(a) =a2 1;f(x)在 [a , ∞ )上单调递增 ,其最小值为f(a) =a2 1.故f(x)的最小值为a2 1.若a≥ 12 ,则 f(x)在 (-∞ ,a]上的最小值为 f 12 =a 34;f(x)在 [a , ∞ )上单调递增 ,其最…     

期末小测验(初一)

一、选择题(以下每题有四个答案可供选择,其中只有一个是正确的,请将表示正确答案的字母填在该题后面的圆括号内). 1.下列运算正确的是( ) (A)a3÷a3=a. (B)a3 a3=2a3. (C)(a3)3=a6. (D)a3·a3=2a9.     

浅谈微分中值定理

微分中值定理的证明 由罗尔中值定理得出: 定理一:若函数f(x),至少存在一点屯,乙〔(a, If(a、 }f(b、 !f,(仓)证明:作辅助函数F(x) g(x),印(x)是[a,b),使得:‘(a)甲(a)g(b)甲(b)g‘(屯)甲产(忿)b〕上的连续函数,在(.,b)内可导,败g(a)g(b)g(x)甲(a)甲(b)甲(x)﹄、.尹、.了、.少 a .bX了了.、了.、r、rl厂Tl .11.leses.....口.J................ △F(x)二因为f(x)户g(x),甲(x)在[。,b]上连续,在(a,b)内可导,所以F(x)在〔a,b〕上连续,在(a,,b)内可导,且F(a)=F(b)二0由罗尔中值定理得,在(a,b)内至少存在一点毛,使得F(七)=O,从而有: }f(a)g(…     

函数概念中易错的一组题

1.已知函数f(x)为偶函数,则下式成立的为() (A)f(二 a)=f(一x a) (B)f(x a)=f(一:一a) 2.已知函数f(x a)为偶函数,则下式成立的为() (A)f(x a)=f(一二 a) (B)f(x a)=f(一x一a) 3.已知定义域为R的函数f(x)的图象的对称轴为直线二=1,则函数f(x l)的图象的对称轴为直线_. 4,已知定     

一道竞赛题的妙解(高一、高二、高三)

题若(1+x+x2)1000的展开式为a0十a(1-x)+a(2-x2)+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为( ) (A)3333. (B)3666. (C)3999. (D)32001. (2001年高中联赛) 这是一道源于教材而高于教材的好题.认真观察条件以及所求式子的特点,恰当地利用w(w+1/2±     

例谈周期数列

若数列an 满足递推方程an L =an(n =1,2 ,3…… )L为某一自然数 ,则称数列an 是以L为周期的周期数列 .下面我们看几个周期数列的例子 .例 1　已知an =sin( n4 π) (n∈N )求a1 a2 … a2 0 0 4的值 .简析　因为sin( n4 π)为周期函数 ,所以an 为周期数列最小正周期为 8,且a1 a2 … a8=0 ,所以a1 a2 … a2 0 0 4=a2 0 0 1 a2 0 0 2 a2 0 0 3 a2 0 0 4=a1 a2 a3 a4=1 2 .例 2　记f(n)为自然数n的个位数字 ,an =f(n2 ) -f(n) .求 :a1 a2 a3 …… a1 997.简析　易知f(n 10 ) =f(n) ,f[(n 10 ) 2 ] =f(n2 ) ,所以an 1 0 =…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

浅谈(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

1 .相同点( 1 )它们都是二次根式 ;( 2 )它们都是非负数 ;( 3)当a≥ 0时 ,(a) 2 =a2 =a .2 .不同点( 1 )写法不同 :(a) 2 有括号 ,a2 没有括号 ;( 2 )读法不同 :(a) 2 读作a的算术平方根的平方 ,a2 读作a的平方的算术平方根 ;( 3)意义不同 :(a) 2 表示非负数a的算术平方根的平方 ;a2 表示实数a的平方的算术平方根 ;( 4 )取值不同 :(a) 2 中的a为非负数 ,a2 中的a为一切实数 ;( 5)运算顺序不同 :(a) 2 是先求a的算术平方根 ,再求它算术平方根的平方 ;a2是先求a的平方 ,再求平方后的算术根 ;( 6 )计算结果不同 :(a) 2 =a ,a2 =|a| =a(a≥ 0 ) …     

英语第四册模拟自测题

l完形填空A(10分) Men first measuredthe ground.The Iength (3) what time ofEg)rptianS used a pilIar,of the dav (5)(1)(2)lt waSusing a stick in shadow would(4) ,the(5)(6)as a gnOmOn,aJld thell (7)deve【0ped a simpk sundial, (6) 00nsisted of a stonewith a pOinter on it.The stone waS placed in￡u1 east—weSt (8)directIOn,a11d the shadow of the pointer showed the tinle. About 300 BC,a Babylonianvented a semi—circular sundial。(7)(8)BerOsus in一 (9)he markedtwelVe hours.The Babylonians,like…     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]中有这样一个不等式 :(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2(a b c) 2 <π24 .①其中 ,a、b、c为三角形三边长 ,α、β、γ分别为a、b、c所对的内角 .本文给出一种简单证法 .首先给出两个引理 :引理 1　aα bβ cγa b c <π2 .引理 2　若x∈ 0 ,π2 ,则tanx > .引理 1、2的结论易证 .下面证明不等式①成立 .式① (bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ -bα) 2<π24 (a b c) 2 .由引理 1知(aα bβ cγ) 2 <π24 (a b c) 2 .故要证式①只须证(bγ -cβ) 2 (cα -aγ) 2 (aβ-bα) 2　 ≤(aα bβ cγ) 2 α2 (…     

一类无理不等式的证明

若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明　根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1　已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a …     

数学竞赛单元训练题(初中) 相关变量式的求值问题

一、选择题1 .如果1 a1 -a=1 -b1 b,那么 ( 2 a) ( 2 b) b2 的值等于 (　　 ) .A 4　　　B -4　　　C 2　　　D -22 已知非零实数a、b满足 (a2 1 ) (b2 1 )=3 ( 2ab-1 ) ,则b( 1a -a)的值为 (　　 ) .A 0　　　B 1　　　C -2　　　D -13 实数a、b满足 (a a2 1 ) (b b2 1 ) =1 ,则a b的值等于 (　　 ) .A -1　　B 0　　C 1　　D ± 14 已知a、b、c、d是四个互不相等的实数 ,且(a c) (a d) =1 ,(b c) (b d) =1 .那么 (a c)(b c)的值是 (　　 ) .A 0　　B 1　　C -1　　D -45 已知 2 0 0 3x3=2 0 0 4y3=2 0 0 5 y3,…     

2006年全国高中数学联赛安徽赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共36分) 　　1.正数列满足a1=1,a2=10,a2nan-2=10a3n-1(n≥3).则a100的值为( ). 　　(A)1098(B)1099(C)10100(D)10101 　　2.已知lg x的小数部分为a.则lg1/x2的小数部分为( ). 　　(A)-2a (B)1-2a 　　(C)2-2a (D)以上都不正确 　　……     

算术平方根非负性的应用

当a≥0时,式子(a)叫做a的算术平方根.这样,在式子(a)中有两个非负数: (1)a≥0; (2)(a)≥0. 这两个非负数在解题中有着极其广泛的应用.     

主谓一致对比练习(英文)

用括号中动词的适当形式填空。1.a.This kind of apples __(sell)well. b.Apples of this kind __(sell)well. 2.a.Many students __(be)to the Great Wall. b.Many a student __(be)to the Great Wall. 3.a.Each of the students __(have)an English-Chinese dictionary. b.The students each __(have)an English-Chinese dictionary. 4.a.His family __(be)a happy one. b.His family __(be)all music lovers. 5.a.All __(like)watching TV. b.All __(be)going on well.     

《英语》第一册模拟试题

1.听力部分(共15分) 一、听对话,并圈出在对话中出现的词汇。(3分) 1. a)lost b)rest c)best 2. a)she b)he c)they 3. a)house b)host c)horse 二、听问句及三个不同的答语,然后根据问句选择正确的答语,并圈出与其相应的题号。(5分) 1. a) b) c) 2. a) b) c) 3. a) b) c) 4.a) b) c) 5. a) b) c)     

一题四解哪个对

题目已知sinZa=a,cosZa=石,则解法l:ran(a 子)“‘n(a 晋)eos(a 晋)1 a ba一b la b一l25,n,(a 于)。,/下、乙s,nL众 不)COSI下、叹口十代一) 4‘ 、.2 八勺D、.产B门口 子‘‘、 叮、tan、a 了)的值为(b~al a bl一a b‘、.户‘、了,AC了硕、了.、23(Za 晋) j八_.打、5111气乙a     

2004年“TRULY~信利杯”全国初中数学竞赛试题(初二、初三)

1.已知实数a≠b,且满足(a 1)2=3-3(a 1),3(6 1)=3-(b 1)2,则的值为( ) (A)23. (B)-23. (C)-2. (D)-13. 2.若直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( )     

高二数学(第一学期)期末测试题

一、选择题 (本大题共 10小题 ,每小题 3分 ,共3 0分 .各小题给出的 4个选项中只有一项符合题目要求 ,把正确选项前面的字母填在题后括号内 )1.若a、b、c∈R ,则下面结论正确的是 (　　 )　　 (A)若ac>bc,则a >b　　 (B)若a2 >b2 ,则a >b　　 (C)若a 1b,则a相似文献