深层理解简解题——关注直线参数方程中参数的几何意义

<正>直线的参数方程是由直线经过的定点和其倾斜角确定的.经过定点P_0(x_0,y_0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(为参数).我们不妨把直线参数方程的这种形式称之为直线参数方程的标准式.一、直线l参数方程中参数t的深层理解设直线l过定点P(x_0,y_0),P,P_1,P_2是直线l上的点,在参数方程标准式中相应参数值分別为t、t_1、t_2,则(1)P与P_0的距离为|PP_0|=|t|.     

直线参数方程的另一形式及其应用

通常所说直线参数方程指的是方程这是过定点P_0(x_0,y_0),倾角为α的直线的参数方程,t为参数,t的几何意义是直线上一动点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的有向距离。对于方程(Ⅰ)的应用本刊1985年第4期《谈直线的参数方程及其应用》一文较详尽的论述过。本文将介绍直线的另一种形式的参数方程。     

对直线参数方程及其应用的分析

我们知道,参数方程是解析几何中的一个难点,而直线的参数方程及其应用又是该章节的重点,因此,深刻系统全面地对直线的参数方程及其应用进行分析是十分必要的.在平面直角坐标系中,经过定点P_0(x_0,y_0),倾角为α(0≤α≤π)的直线(如图)的参数方程是x=x_0 tcosα y=y_0 tsinα其中t是参数.它的几何意义是:|t|的大小等于定点P_0(x_0,y_0)到动点P(x,y)的距离,而t表示有向线段P_0P的数量,P点在P_0点的上方t为正,P点在P_0点的下方t为负.     

关于直线的参数方程

我们知道，随着参数选择的不同，同一直线的参数方程也不同，过定点M0(x0，y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x0 tcosα，；y=y0 tsiα，（t为参数）     

关注直线参数方程中参数的几何意义

<正>笔者在平时的教学中发现,学生普遍对直线参数方程中参数的几何意义理解得不透彻,现总结如下.直线的参数方程是由直线经过的定点和其倾斜角确定的,经过点P_0(x_0,y_0),倾斜角为α的直线的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数).我们通常把直线参数方程的这种形式称之为直线参数方程的标准式.一、对直线l参数方程中的参数t的深层     

关于直线的参数方程与应用

在直角坐标系下,如果一条直线l经过已知点P_0(x_0,y_0),倾角为a,那么它的参数方程为 {x=x_0 tcosa y=y_0 tsina (t为参数) (*) 这个方程很重要,应让学生很好理解和掌握。 (一) 关于参数t的几何意义方程(*)中,参数t的几何意义是直线l上的定点P_0(x_0,y_0)与l上的任意一点P(x,y)所成的有向线段P_0P的数量P_0P,即t=P_0P。当P_0P与l同向时,有     

用参数的几何意义巧解圆锥曲线问题

<正>平面内经过点M0(x₀,y₀)且倾斜角为α(α∈[0，π))的直线l的参数方程为■(t为参数)．当直线l上动点M(x,y)在点M0上方(即y> y0)时，t>0；当M(x,y)在点M0下方(即y 0M|．鉴于参数的几何意义是常见的解题切入点，本文以2022年高考题为例，展示直线参数方程在求解圆锥曲线问题时的神奇魅力．     

直线参数方程应用举例

直线l的标准参数方程为x=x0+tcosθ y=y0+tsinθ(t为参数),其中定点M(x0,y0)∈l,θ为l的倾斜角,t是定点M(x0,y0)到动点P(x,y)∈l的有向线段的数量MP,就是这个t困惑了不少同学.以下举例谈直线参数方程的简单应用.一、求直线的倾斜角例1求直线x=3+tsin20° y=1-t{cos20°t为参数)的倾斜角.错解设直线方程为x=3+tcosθ y=1+tsinθ(t为参数,θ为倾斜     

直线参数方程的应用

过定点P_0(x_0,y_0)、倾斜角为α(0≤α<π)的直线参数方程为其中t是这直线上点P(x,y)所对应的参数(t是实数),并且规定对于直线(*)上P_0上方的点,t>0;对于P_0下方的点,t<0。应当指出: 1.直线(*)上的点P(x,y)与参数t之间是一一对应的,且|t|=|P_0P|,所以     

谈直线参数方程的应用

我们知道,过定点P_0(x_0,y_0)的直线l的参数方程的一般形式为: x=x_0+at,y=y_0+bt。(t为参数,a~2+b~2≠0) (1) 这时,如a~2+b~2≠1,则参数t没有明显的几何意义。通过“标准化”,即得到标准形式:     

利用参数t的几何意义巧解距离问题

<正>我们知道,经过点M_0(x_0,y_0),倾斜角为α(α≠π/2)的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中参数t的几何意义是:|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M_0(x_0,y_0)的距离,若t>0,则动点M在定点M_0的上方;若t<0,则动点M在定点M_0的下方;若t=0,则动点M与     

用好直线的参数方程

过点M0(x0,y0)、倾斜角为θ的直线l的参数方程为{x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t为参数),其中M(x,y)是直线l上的任意一点.当点M在点M0的上方时,|MM0|=t,当点M在点M0的下方时,|MM0|=-t.课本介绍如何用直线的参数方程求线段长、中点弦的方程,其实,还有很多问题可以利用直线的参数方程来解决.     

浅谈另类直线系之切线直线系

一般地,具有某种共同属性的直线的集合,称为直线系.直线系的方程中除含坐标变量x,y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数.常见的5种直线系方程如下:①过点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数);②斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b为参数);③与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数);④与     

直线的参数方程中参数的几何意义与应用

经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是: (t为参数). 其中t的几何意义是有向线段(?)的数量(P是直线上的动点),即P0P=t.如果将此直     

直线系与圆系方程

内容概述 具有某种性质的直线(圆)的集合叫直线(圆)系.通常方程中含有一个或几个参变数. 1.直线系常见类型 (1)过定点(a,b)的直线系为:λ1(y-b)+λ2(x-a)=0,其中λ1、λ2为参数 (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系为:Ax+By+λ=0,(λ≠C,λ为参数) (3)与直线Ax + By + C=0垂直的直线系为:Bx-Ay+λ=0(其中λ为参数) (4)若直线l1与l2的一般式分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则曲线系:λ1f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λi为参数)     

巧用直线的参数方程与极坐标方程求距离

<正>我们知道,在直角坐标系中,过点P0(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中,|t|表示直线l上的任意点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的距离.在极坐标系中,过极点O且倾斜角为α的直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),其中,ρ表示直线l上的任意点P(ρ,θ)到极点O的距离.作为高考选考内容之一的参数方程与极     

直线的参数方程在解题中的应用

参数方程在数学解题中的应用是极为广泛的,本文就自己的教学体会,谈谈关于直线的参数方程在解题中的应用.直线的参数方程一般有以下几种形式:(1)过定点p_0(x_0,y_0),且倾角为     

直线通过定点的判定

含有参数m的直线方程所表示的直线是随参数m的取值不同而变化的动直线.证明动直线是否通过定点是解几《直线》一章中的常见问题. 如果动直线m(A1x B1y十C1) n(A2x B2y C2)=0,(m,n为参数)恒过定点P0(x0,y0),则(x0,y0)必是方程组     

例谈应用直线参数方程求距离的误区

<正>大家知道,在直角坐标系中,过定点P(x_0,y_0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(其中t为参数).我们不妨称它为直线参数方程的标准形式,其中|t|表示直线l上的任意点A到定点P(x_0,y_0)的距离,即|PA|=|t|,t等于有向线段PA的长.当A在P的上方或右边时t为正,     

一个易被忽视的错误

常看到一些写给中学生的书和数学杂志上介绍直线的参数方程时称经进点P_0(x_0,y_0),倾角为α的直线的参数方程的标准式是:x=x_o tcosα y=y_o tsinα(t是参数),又将这样的形式x=x_o at y=y_o bt(t是参数,a~2 b~2≠1)叫做一般形式.并介绍将一般形式化为标准形式的方法只须在t的系数上除以(a~2 b~2)~(1/2)构成t的系数的平方和为1.即: (t为参数) (※) 为了叙述方便,我们姑且承认其“一般式”和“标准式”的称呼法. 显然,作者称(※)为标准式是认为该方程中参数t的几何意义是直线上P点和P_0(x_0,y_0)点的有向线段的数量.但我认为方程(※)还不一定是直线参数方程的标准式,其原因如下: