一道竞赛题的姐妹题

题设I为AABC的内心,其AABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M,过B点平行于MK的直线分别交直线LM和LK于点R和S。求证：∠RIS为锐角。(39届IMO试题)     

求解一道几何竞赛题的心路历程

问题（第十届西部数学奥林匹克试题）如图1,AB是圆O的直径,C、D是圆周上异于A、B且在AB同侧的两点．分别过点C、D作圆的切线,它们相交于点E,线段AD与BC交于点F,直线EF与AB相交于点M．求证：E、C、M、D四点共圆．     

一道希望杯竞赛题的变式

例1如图1,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为9平方厘米和13平方厘米,点G在线段AB上,则△CDE的面积是—平方厘米．     

圆锥曲线的又一性质

圆锥曲线具有许多性质，通过研究圆锥曲线的割线可以得到过曲线上任意四点的两条割线的斜率间关系的一个性质，并进而得到两重要推论。     

一道竞赛题的多种解法

题如图,四边形ABCD为正方形,⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P,分别交AB,AD于点F、E.(1)求证:DE=AF;     

一道数学竞赛题的推广

本文以复数为工具推导了圆内接四边形的一些性质。     

对一道高中数学竞赛题的解法探究

2009年全国高中数学联赛加试试题A卷第一题是这样的： 如图1,M、N分别为锐角三角形ABC（∠A〈∠B）的外接圆Г上弧BC、AC的中点．     

对一道椭圆试题的变式探究

经典考题的解法往往具有一定的代表性,符合通性通法要 求,对一些经典习题进行变式探究有助于加深对问题本质的认 识,也有利于加强新旧知识之间的联系,从而达到培养数学思 维,提高解题效率的目的。本文以一道椭圆试题为例,分类型 作了变式探究,以期与读者交流。     

一道竞赛题的另证

题目 在△ABC中,已知点P、Q、R分别位于边BC、CA、AB上,圆ГA、ГB、ГC分别是△AQR、△BRP、△CPQ的外接圆,线段AP与圆ГA、ГB、ГC分别交于点X、Y、Z．证明：YZ/XZ=BP/PC.     

对一道希腊竞赛题的探究

题目　一个大学生在去年暑假用了 37天学习高等数学 ,并遵循如下规则 :( 1 )每天至少学 1小时 ;( 2 )每天按整小时学 ,且最多学 1 2小时 ;( 3)全部学习时间不超过 6 0小时 .证明 :此期间存在连续的若干天 ,该生学习时间的总和为 1 3小时[1] .(第 1 9届希腊数学奥林匹克 )对于题中所给的条件“37天” ,若改为 36天 ,命题是否成立呢 ?笔者发现 ,35天就够了 ,且可证明 35天是最小值 .理由如下 :沿用文 [1 ]的记号 ,则Ai 的取值是 1～ 6 0这 6 0个正整数中互不相同的若干个 .考虑下面 2 6组数 :{i,i 1 3},i=1 ,2 ,… ,1 3,2 7,2 8,… ,39.其中…     

对一道数学竞赛题的探究

第18届美国数学奥林匹克有这样一道试题: 数列{an}定义为a1=1,an 1=an2 (1)/(an)(n≥1)(*).证明:对任何n≥1,存在实数α,使得(1)/(2)≤(an)/(nα)≤2.     

一道高考题与一道竞赛题的解法探究

2006年全国高考试题理科Ⅰ第11题为：[第一段]     

一道习题的变式

习题：过圆x2＋y2=r2（r〉0）上一点P（x0,y0）的切线方程为_________．解法1（利用△）：当切线斜率存在时,设切线方程为：y-y0=k（x-x0）,联立x2＋y2=r2（r〉0）可得：（1＋k2）x2＋（2ky0-2k2x0）x-2kx0y0＋k2x02＋x02=0．     

一道竞赛题的优美解法

正波利亚在《怎样解题》中指出:没有任何问题是可以解决得十全十美的,总有些工作要做.经过充分的探讨与研究,我们能够改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个问题的理解水平.惠特霍斯曾说过:一般地,解题之所以成功,在很大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法.下面我们以一道有关双曲线的竞赛题为例来解读:怎样改进解法,怎样根据题目特点选择一种最适宜的方法,寻找优美简单的解法.     

对一道力学竞赛题解答之管见

[原题 ]如图 1所示 ,有两个系统 ,每个都是由两个质量均为m的相同物体组成 ,两物体间用劲度系数为k的弹簧相连 ,两物体以大小相同的恒定速度v相向图 1运动 ,某时刻 ,将相互碰撞的两物体B、C间距为l,问经过多少时间后 ,这两物体间距又等于l,设碰撞是完全弹性的 .[原题解 ](摘自范小辉编《新编奥林匹克物理竞赛解题指导》一书 )两物体先作匀速直线运动 ,经t1=l2v时间后两物相互碰撞 ,因碰撞是完全弹性的 ,且两物等质量 ,故两物的速度交换 ,每根弹簧的中间点不动 ,每一物体都以回复力F =-2kx作简谐运动 ,其周期为T =2π m2k,又经t2 =12 T =π…     

四边形外接圆半径问题的探究

针对2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试四边形外接圆问题,先给出两种求解方法,再推广得到了在已知圆内接四边形一组对边及其对角线夹角的前提下,圆的半径公式.     

关于一道中学物理竞赛题的讨论

第 1 8届全国中学生物理竞赛复赛试卷的最后一题 (略 ) ,参考解答给出了一种解答和讨论 .粗看起来 ,似乎对其计算结果有些疑惑 ,从井口算起 ,G1上升的最大高度为 :H2 =m2 E0m1g(m1+m2 ) + 2 E0 m2 hm1g(m1+m2 ) .与解除锁定处到井口的深度h有关 ,随h的增大而增高 ?有人认为在解除锁定后 ,下部G2 的速度v2=0的情况下 ,H2 应获极大值 .这显然与此答案不符 .为了更深刻理解玩具“火箭”的发射情景 ,本文从另一角度对题中第二问题进行讨论 .首先 ,应明确将玩具“火箭”的上部G1和下部G2(含弹簧 )以及地球组成一系统 ,忽略空气阻力 ,系统的机…